Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

Содержание
  1. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные множители
  2. Разложение многочлена в комплексной области на линейные множители
  3. Разложение многочлена на множители
  4. Необходимая теория
  5. Вынесение за скобки общего множителя
  6. Способ группировки
  7. Разложение многочлена на множители: примеры, правило
  8. Теория
  9. Основная теорема алгебры
  10. Теорема Безу
  11. Следствие из теоремы Безу
  12. Разложение на множители квадратного трехчлена
  13. Способы разложения на множители многочлена степени выше второй
  14. Вынесение общего множителя за скобки
  15. Разложение на множители многочлена с рациональными корнями
  16. Искусственные приемы при  разложении многочлена на множители
  17. Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители
  18. Способ замены переменной при разложении многочлена на множители

Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные множители

Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

План

1. Многочлен в комплексной плоскости. Теорема Безу. Корни многочлена.

2. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные множители.

3. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби.

Многочлен в комплексной плоскости. Теорема Безу. Корни многочлена

Перед тем как непосредственно перейти к вопросу об интегрировании рациональных функций необходимо рассмотреть алгебру многочленов, основные свойства и правила преобразований рациональных функций, что и делается в дальнейшем.

Опр.Многочленом (полиномом) -й степени называется выражение вида

, (1)

где коэффициенты , , – постоянные числа (как правило, действительные), и . Число называется степенью многочлена.

Опр. Число (вообще говоря, комплексное), такое, что

,

называется корнем многочлена (1).

ТЕОРЕМА (основная теорема алгебры). Всякий многочлен степени ( ) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

ТЕОРЕМА БЕЗУ. Число является корнем много­члена тогда и только тогда, когда многочлен делится без остатка на :

. (2)

Опр. Если многочлен делится на ( – неотрицательное целое) и не делится на , то число называется кратностью корня .

Если равно кратности корня многочлена , то выполняется равенство

. (3)

где – такой многочлен степени , что .

ТЕОРЕМА. Если , ,…, – корни многочлена -й степени (в общем случае комплексные, причем при кратном корне он повторяется столько раз какова его кратность), то данный многочлен единственным образом можно представить в виде

, (4)

где – коэффициент при .

Если же среди корней многочлена имеются кратные, то данный многочлен принимает вид:

, (5)

где , , …, – различные корни многочлена , а числа ( ) – соответствующие кратности корней .

Таким образом, если учитывать кратность каждого корня, то всякий многочлен степени имеет в точности корней.

ТЕОРЕМА. Если комплексное число является корнем многочлена (1) с вещественны­ми коэффициентами, то сопряженное число также является его корнем и притом той же кратности, что и .

Используя это свойство, заменим в разложении многочлена на множители комплексные выражения и их произведением , которое является много­членом второй степени с действительными коэффициентами:

.

Здесь , , .

Тогда разложение (5) многочлена принимает вид

, (6)

где , , и все коэффициенты , , …, ; , , …, , вещественны. При этом , …, – все вещественные корни многочлена , а каждому комплексному корню и сопряженному корню соответствует множитель вида .

Разложение (6) многочлена на множители единственно, поскольку оно однозначно определяется корнями этого многочлена и их кратностями.

Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные множители

Опр. Пусть и – многочлены с вещественными коэф­фициентами. Рациональная дробь – называется правильной, если степень многочлена меньше степени многочлена .

Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления много­членов, ее можно представить в виде

,

где , и – некоторые многочлены, а – пра­вильная рациональная дробь.

ТЕОРЕМА. Пусть – правильная рациональном дробь и – многочлены с вещественными коэффициентами, а знаменатель дроби можно представить в виде разложения

, (7)

здесь – попарно различные вещественные корни многочлена кратности , , а выражения соответствуют попарно различным комплекс­ным корням и кратности , . Тогда су­ществуют вещественные числа

, , ,

и , ,

такие, что

. (8)

Опр. Рациональные дроби вида

, ,

где , , , , и – действительные числа, а , называются элементарными рациональными дробями.

Таким образом, всякая пра­вильная рациональная дробь может быть разложена в сумму эле­ментарных рациональных дробей.

Различают четыре типа элементарных рациональных дробей.

1-й тип. Рациональные дроби вида ;

2-й тип. Рациональные дроби вида, , ;

3-й тип. Рациональные дроби вида, ;

4-й тип. Рациональные дроби вида, , .

На практике приведение рациональной дроби к выражению (8) осуществляется с помощью метода неопределенных коэффициентов, который состоит из следующих шагов.

1. Выполняется разложение знаменателя данной дроби на множители.

2. Для данной дроби записывается разложение вида (8), коэффициенты , , которого считаются неиз­вестными ( , , , ).

3. Обе части равенства приводятся к общему знамена­телю, который далее отбрасывается.

4. Приравниваются коэффициенты у полученных многочленов, что приводит к системе уравнений с неизвест­ными.

5. В результате решения полученной системы находятся искомые коэффициенты , , .

Поиск коэффициентов , и может быть упрощен, если после выполнения шага 3 подставить в полученное выражение вещественные корни знаменателя . В этом случае число неизвестных коэффициентов и соответствующих уравнений может быть уменьшено. В некоторых случаях можно вообще обойтись без решения системы.

Пример. Выполним разложение на элементарные дроби выражения

.

Представим искомое разложение в виде

и, приводя к общему знаменателю, получим

.

Отбросим знаменатель

,

раскроем скобки возле каждого искомого коэффициента

и сгруппируем выражения в правой части по степеням :

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях

:
:
:

и запишем полученную систему уравнений

Решением этой системы являются значения искомых коэффициентов

, , .

Другим способом поиска неизвестных , и является подстановка в выражение

вещественных корней знаменателя :

– подставляя , получим , откуда следует ;

– подстановка дает равенство , откуда ;

– подстановка приводит к уравнению , решением которого является .

Таким образом, искомое разложение имеет вид

.

Источник: https://stydopedia.ru/2x229e.html

Разложение многочлена в комплексной области на линейные множители

Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

Пусть Pn (z) – многочлен степени n, а z1 – его корень. Тогда по теореме Безу Pn (z) можно представить в виде:

Pn (z) = (z – z1) Qn-1 (z),

где Qn-1 – многочлен степени n – 1. Если при этом Qn-1 (z1) = 0, его вновь можно представить как ( z – z1 )Qn-2 (z), a Pn (z) = (z – z1)Qn-2 (z).

Определение 8.3. Натуральное число k1 называется кратностью корня z1 многочлена Pn (z), если этот многочлен делится на , но не делится на . Корень кратности 1 называется простым,а корень кратности, большей 1, — кратным.

Итак, если z1 – корень Pn кратности k1 , то Из основной теоремы алгебры следует, что многочлен тоже имеет корень. Обозначим его z2 , а его кратность k2 . Тогда а , (8.2)

где Следовательно, в комплексной области всякий многочлен можно разложить на линейные множители.

Разложение многочлена с действительными коэффициентами

На линейные и квадратичные множители.

Определим для Pn (z) многочлен , где — число, комплексно сопряженное коэффициенту ai . При этом . Следовательно, если z0 – корень Pn , то — корень .

Если коэффициенты Pn – действительные числа, то , и если z0 = a + ib – его корень кратности k, то — тоже его корень, причем той же кратности. Но — квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом.

Если теперь применить к многочлену с действительными коэффициентами от действительной переменной Pn (x) формулу (8.2), то

(8.3)

то есть всякий многочлен на множестве действительных чисел можно разложить на множители степени не выше второй.

Рациональные дроби.

Если P(z) и Q(z) – многочлены в комплексной области, то — рациональная дробь. Она называется правильной, если степень P(z) меньше степени Q(z), и неправильной, если степень Р не меньше степени Q.

Любую неправильную дробь можно представить в виде: , где P(z) = Q(z) S(z) + R(z), a R(z) – многочлен, степень которого меньше степени Q(z).

Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.

Лемма 1. Если — правильная рациональная дробь и z0 – корень ее знаменателя кратности k, т.е. то существуют число А и многочлен P1(z) такие, что

, (8.4)

где последнее слагаемое является правильной дробью.

Доказательство.

. При этом последнее слагаемое является правильной дробью. Выберем число А так, чтобы z0 было корнем многочлена P(z) – AQ1(z), то есть . Тогда по теореме Безу . Лемма доказана.

Замечание. Если коэффициенты многочленов Р и Q и выбранный корень знаменателя – действительные числа, то и коэффициенты многочленов P1 и Q1 – тоже действительные числа.

Теорема 8.3. Если — правильная рациональная дробь и , то существуют такие комплексные числа что

. (8.5)

Доказательство.

Применив k1 раз лемму 1 к дроби , получим:

где . Применяя затем ту же лемму к остальным корням знаменателя, придем к формуле (8.5).

Лемма 2. Пусть Р(х) и Q(x) – многочлены с действительными коэффициентами, причем Q(x) = ( x² + px + q)m Q1(x), где p²4q< 0. Тогда существуют такие действительные числа В, С и многочлен с действительными коэффициентами Р1(х), что

(8.6)

где последнее слагаемое тоже является правильной дробью.

Доказательство.

(8.7)

где последнее слагаемое является правильной дробью. Выберем В и С такими, чтобы число z0 =x0 +iy0 (корень многочлена z² + pz + q) было корнем многочлена P(х)-(Bх+C)Q1(х). Можно показать, что при этом где .

Следовательно, В и С – действительные числа, а z0 и (число, комплексно сопряженное z0) – корни многочлена P(х)-(Bх+C)Q1(х). Тогда по теореме Безу он делится на

. Поэтому последнюю дробь в равенстве (8.7) можно сократить на x² + px + q и получить равенство (8.6).

Используя эту лемму, можно доказать следующую теорему:

Теорема 8.4. Если — правильная рациональная дробь, а

где то существуют такие действительные числа

что

. (8.8)

Примеры.

1. . Полученная дробь должна совпадать с исходной при любых х, следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях обеих дробей должны быть равными. Отсюда , то есть А = 1, В = -1. Следовательно, исходную дробь, знаменатель которой имеет только действительные корни (причем простые, то есть кратности 1) можно представить в виде: .

2.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях, получаем:

, откуда А = 1, В = -3, С = 3, D = 5. Таким образом, данную дробь, знаменатель которой имеет действительный корень х = 0 кратности 2 и комплексно сопряженные корни преобразуем в сумму дробей:

.

Лекция 9. Интегрирование простейших и произвольных правильных дробей. Интегрирование произвольных рациональных функций. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

В пошлой лекции было показано, что любую правильную рациональную дробь можно представить в виде линейной комбинации дробей вида:

1) , 2) , 3) , 4) . (9.1)

Эти дроби называются простейшими (или элементарными) дробями. Выясним, каким образом они интегрируются.

1)

2) (9.2)

3) (9.3)

Сделаем замену и обозначим . Тогда требуется вычислить интеграл

(9.4)

4) При интегрировании простейших дробей последнего типа воспользуемся той же заменой, что и в предыдущем случае, и представим подынтегральное выражение в виде:

где Рассмотрим отдельно способ интегрирования In .

. (9.5)

Таким образом, получена рекуррентная формула, позволяющая в конечном счете свести вычисление этого интеграла к

Итак, интеграл от любой простейшей дроби находится в явном виде и является элементарной функцией.

Теорема 9.1. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Доказательство.

Представим рациональную дробь в виде: (см. лекцию 8). При этом последнее слагаемое является правильной дробью, и по теореме 8.4 ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей. Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S(x) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме.

Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.

Пример.

Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

Из ранее доказанного следует, что любую рациональную дробь можно проинтегрировать, поэтому в дальнейшем будем считать задачу интегрирования функции выполненной, если удается представить эту функцию в виде рациональной дроби.

В частности, для интегралов вида , где R – рациональная функция (многочлен или рациональная дробь), r1 ,…,rn – дроби с одним и тем же знаменателем m , а , замена приводит к . Таким образом, х является рациональной функцией t, следовательно, его производная тоже будет рациональной функцией. Кроме того, — тоже рациональные функции от t (так как pi – целое число).

Поэтому после замены подынтегральное выражение примет вид R1 (t)dt , где R1 – рациональная функция, интегрируемая описанными выше способами.

Замечание. С помощью подобных замен можно интегрировать функции вида , и, в частности,

Примеры.

1. Сделаем замену , тогда , а . Следовательно,

2. . Так как , а , выберем в качестве новой переменной . Тогда . Поэтому

Лекция 10. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Интегрируемость в элементарных функциях.

Рассмотрим интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

1. Интегралы вида вычисляются с применением формул (10.1) Пример.

2. Интегралы вида , где т и п – целые числа, интегрируются с помощью замен: а) если хотя бы одно из чисел т,п – нечетное (например, т), можно сделать замену t = sin x (или t = cos x при нечетном п). Пример 1. Пример 2.

б) если т и п – четные положительные числа, можно понизить степени тригонометрических функций с помощью формул . Пример. в) если т и п – четные и хотя бы одно из них отрицательно, можно применить замену t = tg x или t = ctg x.

Пример.

3. Интегралы вида где R – рациональная функция, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: , тогда , (10.2) то есть все составляющие подынтегрального выражения представляют собой рациональные функции от t.

Пример. Если подынтегральная функция имеет вид R (sin²x, cos²x), можно выбрать замену t = tg x. При этом , (10.3) и степень полученной рациональной функции будет ниже, чем при универсальной тригонометрической подстановке, что облегчает дальнейшее интегрирование. Пример.

Интегрирование квадратичных иррациональностей.

При вычислении интегралов свести подынтегральную функцию к рациональной помогают замены:

а) при этом dx = acos t dt, .

б) tg t, тогда ,

в) соответственно

Пример 1. Вычислим интеграл Пусть тогда

Заметим, что

. Поэтому ответ можно представить в виде:

Пример 2. Для вычисления интеграла выберем замену x = 3tg t. При этом

, где u = sin t . Представив подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, получим:

(Учитываем, что ).

Пример 3. Вычислим интеграл с помощью замены . Тогда

Интегрируемость в элементарных функциях.

В предыдущих лекциях рассмотрены методы интегрирования некоторых элементарных функций. Однако далеко не все элементарные функции интегрируемы, то есть имеют первообразные, также являющиеся элементарными функциями. В качестве примеров можно привести функции и другие.

Этим операция интегрирования отличается от дифференцирования, при котором производная любой элементарной функции является тоже элементарной функцией.

Для отыскания интегралов от функций, не имеющих элементарной первообразной, вводятся и используются новые классы функций, не являющихся элементарными.

Лекция 11.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Теорема о среднем для определенного интеграла.

Для решения многих задач из различных областей науки и техники требуется применение определенного интеграла. К ним относятся вычисление площадей, длин дуг,

объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т.д. Определим это понятие.

Рассмотрим отрезок [a, b] оси Ох и определим понятие разбиения этого отрезка как множества точек xi : a=x1< x2 0, что для любой интегральной суммы στ, соответствующей разбиению, для которого |τ| < δ, верно неравенство | στ – I | < 1, откуда I – 1 < στ < I + 1, то есть множество интегральных сумм функции f (x) ограничено.

Если предположить при этом, что f (x) неограничена на [a,b], то она неограничена по крайней мере на одном из отрезков разбиения. Тогда произведение f (ξi)Δxi на этом отрезке может принимать сколь угодно большие значения, то есть интегральная сумма оказывается неограниченной, что противоречит условию интегрируемости f (x).

Замечание. Условие ограниченности функции является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости. В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле

f (x) = 1, если х рационально, и f (x) = 0, если х иррационально. Для нее на любом отрезке [a,b] и при любом разбиении на каждом отрезке Δxi найдутся как рациональные, так и иррациональные значения х.

Выбрав в качестве ξi рациональные числа, для которых f (ξi )= 1, получим, что = b – a. Если же считать, что ξi – иррациональные числа, то = 0.

Следовательно, предел интегральных сумм не существует, и функция Дирихле не интегрируема ни на каком отрезке.

Источник: https://cyberpedia.su/14xf95e.html

Разложение многочлена на множители

Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.
Выражения, преобразование выражений

Раскладывать многочлены на множители приходится при упрощении выражений (чтобы можно было провести сокращение), при решении уравнений или при разложении дробно рациональной функции на простейшие дроби.

Имеет смысл говорить о разложении многочлена на множители, если его степень не ниже второй.

Многочлен первой степени называют линейным.

Рассмотрим сначала теоретические основы, затем перейдем непосредственно к способам разложения многочлена на множители.

Необходимая теория

Теорема.

Любой многочлен степени n вида представляется произведением постоянного множителя при старшей степени и n линейных множителей , i=1, 2, …, n, то есть , причем , i=1, 2, …, n являются корнями многочлена.

Эта теорема сформулирована для комплексных корней , i=1, 2, …, n и комплексных коэффициентов , k=0, 1, 2, …, n. Она является основой для разложения любого многочлена на множители.

Если коэффициенты , k=0, 1, 2, …, n – действительные числа, то комплексные корни многочлена ОБЯЗАТЕЛЬНО будут встречаться комплексно сопряженными парами.

К примеру, если корни и многочлена являются комплексно сопряженными, а остальные корни действительные, то многочлен представится в виде , где

Замечание.

Среди корней многочлена могут быть повторяющиеся.

Доказательство теоремы проводится с использованием основной теоремы алгебры и следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры.

Всякий многочлен степени n имеет по крайней мере один корень (комплексный или действительный).

Теорема Безу.

При делении многочлена на (x-s) получается остаток, равный значению многочлена в точке s, то есть , где есть многочлен степени n-1.

Следствие из теоремы Безу.

Если s – корень многочлена , то .

Это следствие будем достаточно часто употреблять при описании решения примеров.

К началу страницы

Квадратный трехчлен раскладывается на два линейных множителя: , где и являются корнями (комплексными или действительными).

Таким образом, разложение на множители квадратного трехчлена сводится к решению квадратного уравнения.

Разложить квадратный трехчлен на множители.

Найдем корни квадратного уравнения .

Дискриминант уравнения равен , следовательно,

Таким образом, .

Для проверки можно раскрыть скобки: . При проверке пришли к исходному трехчлену, поэтому разложение выполнено верно.

Разложить на множители квадратный трехчлен .

Соответствующее квадратное уравнение имеет вид .

Найдем его корни.

Поэтому, .

Разложить многочлен на множители .

Найдем корни квадратного уравнения .

Получили пару комплексно сопряженных корней.

Разложение многочлена будет именть вид .

Разложить на множители квадратный трехчлен .

Решим квадратное уравнение .

Поэтому,

Замечание:

В дальнейшем, при отрицательном дискриминанте, мы будем оставлять многочлены второго порядка в исходном виде, то есть не будем раскладывать их на линейные множители с комплексными свободными членами.

К началу страницы

В общем случае эта задача предполагает творческий подход, так как не существует универсального метода ее решения. Но все же попробуем дать несколько наводок.

В подавляющем числе случаев, разложение многочлена на множители основано на следствии из теоремы Безу, то есть находится или подбирается корень и понижается степень многочлена на единицу делением на . У полученного многочлена ищется корень и процесс повторяется до полного разложения.

Если же корень найти не удается, то используются специфические способы разложения: от группировки, до ввода дополнительных взаимоисключающих слагаемых.

Дальнейшее изложение базируется на навыках решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.

Вынесение за скобки общего множителя

Начнем с простейшего случая, когда свободный член равен нулю, то есть многочлен имеет вид .

Очевидно, что корнем такого многочлена является , то есть многочлен представим в виде .

Этот способ есть ни что иное как вынесение общего множителя за скобки.

Разложить многочлен третьей степени на множители.

Очевидно, что является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:

Найдем корни квадратного трехчлена

Таким образом,

К началу страницы

Сначала рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида , коэффициент при старшей степени равен единице.

В этом случае, если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Разложить на множители выражение .

Проверим, имеются ли целые корни. Для этого выписываем делители числа -18: . То есть, если многочлен имеет целые корни, то они находятся среди выписанных чисел. Последовательно проверим эти числа по схеме Горнера. Ее удобство еще и в том, что в итоге получим и коэффициенты разложения многочлена:

То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения:

Осталось разложить квадратный трехчлен .

Дискриминант этого трехчлена отрицательный, следовательно, он не имеет действительных корней.

.

Замечание:

вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен.

Теперь рассмотрим разложение многочлена с целыми коэффициентами вида , причем коэффициент при старшей степени не равен единице.

В этом случае многочлен может иметь дробно рациональные корни.

Разложить на множители выражение .

Выполнив замену переменной y=2x, перейдем к многочлену с коэффициентом равным единице при старшей степени. Для этого сначала домножим выражение на 4.

Если полученная функция имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их:

Вычислим последовательно значения функции g(y) в этих точках до получения нуля.

То есть, y=-5 является корнем , следовательно, является корнем исходной функции. Проведем деление столбиком (уголком) многочлена на двучлен .

Таким образом,

Проверку оставшихся делителей продолжать нецелесообразно, так как проще разложить на множители полученный квадратный трехчлен

Следовательно,

К началу страницы

Далеко не всегда многочлены имеют рациональные корни. В этом случае при разложении на множители приходится искать специальные способы. Но, как бы нам не хотелось, некоторые многочлены (а точнее подавляющее большинство) так и не получится представить в виде произведения.

Способ группировки

Иногда получается сгруппировать слагаемые многочлена, что позволяет найти общий множитель и вынести его за скобки.

Разложить многочлен на множители.

Так как коэффициенты являются целыми числами, то могут быть целые корни среди делителей свободного члена. Проверим значения 1, -1, 2 и -2, вычислив значение многочлена в этих точках.

То есть, целых корней нет. Будем искать другой способ разложения.

Проведем группировку:

После группировки исходный многочлен представился в виде произведения двух квадратных трехчленов. Разложим их на множители.

Следовательно,

Замечание.

При всей видимой простоте группировки очень не просто выбрать слагаемые для ее проведения. Универсальных способов нет, так что экспериментируем и еще раз экспериментируем.

Разложить на множители .

Целых корней многочлен не имеет (нужно проверить лишь делители числа 2).

Проведем группировку слагаемых:

Разложив на множители каждый из полученных квадратных трехчленов, придем к результату:

К началу страницы

Иногда внешний вид многочлена наводит на мысль о способе его разложения на множители.

К примеру, после несложных преобразований коэффициенты выстраиваются в строчку из треугольника Паскаля, то есть, являются коэффициентами бинома Ньютона.

Разложить многочлен на множители.

Преобразуем выражение к виду:

Последовательность коэффициентов суммы в скобках явно указывают, что это есть .

Следовательно, .

Теперь применим формулу разности квадратов:

Выражение во второй скобке действительный корней не имеет, а для многочлена из первой скобки еще раз применим формулу разности квадратов:

Разложить на множители .

Преобразуем выражение:

Применим формулу сокращенного умножения разность кубов:

К началу страницы

Часто замена переменной позволяет понизить степень многочлена и разложить его на множители.

Разложить на множители .

Напрашивается замена :

Корнями полученного квадратного трехчлена являются y=-2 и y=-3, поэтому,

Применяем формулу сокращенного умножения сумма кубов:

Так получили искомое разложение.

В большинстве случаев рассмотренные способы помогут Вам разложить многочлен на множители, если он вообще разложим.

Некогда разбираться?

Закажите решение

К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/expressions/polynomial_factorization.html

Разложение многочлена на множители: примеры, правило

Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.

Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.

Теория

Теорема 1

Когда любой многочлен со степенью n, имеющие вид Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью an и n линейных множителей (x-xi) , i=1, 2, …, n, тогда Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x1) , где xi , i=1, 2, …, n – это и есть корни многочлена.

Теорема предназначена для корней комплексного типа xi ,i=1, 2, …, n и для комплексных коэффициентов ak ,k=0, 1, 2, …, n. Это и есть основа любого разложения.

Когда коэффициенты вида ak, k=0, 1, 2, …, n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами.

Например, корни x1  и x2 , относящиеся к многочлену вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…

+a1x+a0  считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x3)x2+px+q , где x2+px+q=(x-x1)(x-x2).

Замечание

Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры

Теорема 2

Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.

Теорема Безу

После того, как произвели деление многочлена вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  на (x-s), тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s, тогда получим

Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x)+Pn(s) , где Qn-1(x)  является многочленом со степенью n-1.

Следствие из теоремы Безу

Когда корень многочлена Pn(x) считается s, тогда Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида ax2+bx+c  можно разложить на линейные множители. тогда получим, что ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где x1 и x2  — это корни (комплексные или действительные).

Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.

Пример 1

Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.

Решение

Необходимо найти корни уравнения 4×2-5x+1=0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D=(-5)2-4·4·1=9 . Отсюда имеем, что

x1=5-92·4=14×2=5+92·4=1

Отсюда получаем, что 4×2-5x+1=4x-14x-1.

Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:

4x-14x-1=4×2-x-14x+14=4×2-5x+1

После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.

Пример 2

Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3×2-7x-11.

Решение

Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3×2-7x-11=0.

Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что

3×2-7x-11=0D=(-7)2-4·3·(-11)=181×1=7+D2·3=7+1816×2=7-D2·3=7-1816

Отсюда получаем, что 3×2-7x-11=3x-7+1816x-7-1816 .

Пример 3

Произвести разложение многочлена 2×2+1  на множители.

Решение

Теперь нужно решить квадратное уравнение 2×2+1=0 и найти его корни. Получим, что

2×2+1=0x2=-12×1=-12=12·ix2=-12=-12·i

Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2×2+1=2x-12·ix+12·i .

Пример 4

Произвести разложение квадратного трехчлена x2+13x+1.

Решение

Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x2+13x+1=0  и найти его корни.

x2+13x+1=0D=132-4·1·1=-359×1=-13+D2·1=-13+353·i2=-1+35·i6=-16+356·ix2=-13-D2·1=-13-353·i2=-1-35·i6=-16-356·i

Получив корни, запишем

x2+13x+1=x—16+356·ix—16-356·i==x+16-356·ix+16+356·i

Замечание

Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x-x1) . Полученный многочлен нуждается  в нахождении корня x2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.

Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями  и целыми коэффициентами.

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x.

Видно, что корень такого многочлена будет равняться x1=0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x==x(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)

Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.

Пример 5

Выполнить разложение многочлена третьей степени 4×3+8×2-x  на множители.

Решение

Видим, что x1=0  — это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:

4×3+8×2-x=x(4×2+8x-1)

Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4×2+8x-1 .  Найдем дискриминант и корни:

D=82-4·4·(-1)=80×1=-8+D2·4=-1+52×2=-8-D2·4=-1-52

Тогда следует, что

4×3+8×2-x=x4x2+8x-1==4xx—1+52x—1-52==4xx+1-52x+1+52

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями

Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1.

Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.

Пример 6

Произвести разложение выражения f(x)=x4+3×3-x2-9x-18 .

Решение

Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа -18. Получим, что ±1,±2,±3,±6,±9,±18. Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить  коэффициенты разложения многочлена:

xiКоэффициенты многочленов
13-1-9-18
113+1·1=4-1+4·1=3-9+3·1=-6-18+(-6)·1=-24
-113+1·(-1)=2-1+2·(-1)=-3-9+(-3)·(-1)=-6-18+(-6)·(-1)=-12
213+1·2=5-1+5·2=9-9+9·2=9-18+9·2=0
215+1·2=79+7·2=239+23·2=55
-215+1·(-2)=39+3·(-2)=39+3·(-2)=3
315+1·3=89+8·3=339+33·3=108
-315+1·(-3)=29+2·(-3)=39+3·(-3)=0

Отсюда следует, что х=2 и х=-3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:

f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x3+5×2+9x+9)==(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x2+2x+3.

Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.

Ответ: f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Замечание

Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0, старший из которых на равняется единице.

Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.

Пример 7

Произвести разложение на множители f(x)=2×3+19×2+41x+15.

Решение

Необходимо выполнить замену переменной y=2x, следует переходить  к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4. Получаем, что

4f(x)=23·x3+19·22·x2+82·2·x+60==y3+19y2+82y+60=g(y)

Когда получившаяся функция  вида g(y)=y3+19y2+82y+60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:

±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60

Перейдем  к вычислению функции g(y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что

g(1)=13+19·12+82·1+60=162g(-1)=(-1)3+19·(-1)2+82·(-1)+60=-4g(2)=23+19·22+82·2+60=308g(-2)=(-2)3+19·(-2)2+82·(-2)+60=-36g(3)=33+19·32+82·3+60=504g(-3)=(-3)3+19·(-3)2+82·(-3)+60=-42g(4)=43+19·42+82·4+60=756g(-4)=(-4)3+19·(-4)2+82·(-4)+60=-28g(5)=53+19·52+82·5+60=1070g(-5)=(-5)3+19·(-5)2+82·(-5)+60

Получаем, что у=-5 – это корень уравнения вида y3+19y2+82y+60, значит, x=y2=-52 — это корень исходной функции.

Пример 8

Необходимо произвести деление столбиком 2×3+19×2+41x+15  на x+52 . 

Решение

Запишем и получим:

Значит,

2×3+19×2+41x+15=x+52(2×2+14x+6)==2x+52(x2+7x+3)

Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x2+7x+3. Приравниванием к нулю и находим дискриминант.

x2+7x+3=0D=72-4·1·3=37×1=-7+372×2=-7-372⇒x2+7x+3=x+72-372x+72+372

Отсюда следует, что

2×3+19×2+41x+15=2x+52×2+7x+3==2x+52x+72-372x+72+372

Искусственные приемы при  разложении многочлена на множители

Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители

Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.

Пример 11

Произвести разложение многочлена x4+4×3+6×2+4x-2  на множители.

Решение

Необходимо выполнить преобразование выражения к виду

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3

На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x+14.

Значит, имеем x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3.

После применения разности квадратов, получим

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3

Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3==x+1-34x+1+34×2+2x+1+3

Пример 12

Произвести разложение на множители x3+6×2+12x+6.

Решение

Займемся преобразованием выражения. Получаем, что

x3+6×2+12x+6=x3+3·2·x2+3·22·x+23-2=(x+2)3-2

Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:

x3+6×2+12x+6==(x+2)3-2==x+2-23x+22+23x+2+43==x+2-23×2+x2+23+4+223+43

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители

При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.

Пример 13

Произвести разложение на множители многочлена вида x6+5×3+6.

Решение

По условию видно, что необходимо произвести замену y=x3 . Получаем:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6

Корни полученного квадратного уравнения равны y=-2 и y=-3, тогда

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3

Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3==x+23×2-23x+43x+33×2-33x+93

То есть получили искомое разложение.

Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении  и разложении многочлена на множители разными способами.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/razlozhenie-mnogochlena-na-mnozhiteli/

Uchebnik-free
Добавить комментарий