Ранг, дефект линейного оператора.

Действия над линейными операторами

Ранг, дефект линейного оператора.

страницу

Линейные операторы

В конец страницы

7. 1 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 

Пусть V и W – линейные пространства размерностей n и m соответственно. Будем называть оператором, или преобразованием, А, действующим из V в W, отображение вида А: , сопоставляющее каждому элементу некоторый элемент . При этом будем использовать обозначение А или А.

Назовем нулевым оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W, т. е. О: О . Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых двух элементов  из V и произвольного числа  выполняются следующие свойства:

1)     АА+А (свойство аддитивности);

2)     АА (свойство однородности).

Оператор Е, определяемый равенством Е для любого  из V, назовем тождественным, или единичным. Оператор (–А), определяемый равенством (–А )–А для всех  из V, назовем противоположным.

Пусть А  и В – два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем оператор А + В, определяемый равенством (А + В)А+В для любого  из V. Легко видеть, что сумма линейных операторов тоже будет линейным оператором.

Сложение линейных операторов обладает, очевидно, следующими свойствами:

1. А + В = В +А.

2. (А +В) +Е = А + (В + Е).

3. А + О = А  для любого А.

4. (–А) + А = О.

Произведением  линейного  оператора  на  скаляр  α  назовем оператор αА, определяемый равенством А)А. Ясно, что αА – тоже линейный оператор.

Для умножения линейного оператора на число справедливы, очевидно, следующие свойства:

1. А = А; 0А = О; (–1)А= –А.

2. βА) А.

3. А = А + βА.

4. (А + В) = А + В.

Обозначим через  множество всех линейных операторов, действующих из V в W.

Произведением линейных операторов А и В из  называется оператор АВ, определяемый следующим образом: (А В)А(В для любого  из V. Произведение линейных операторов тоже будет линейным оператором.

Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:

1. АВ) = (А )В.

2. (АВ)Е = А (ВЕ).

3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ,  Е(А + В) = ЕА + ЕВ.

Умножение линейных операторов, вообще говоря, некоммутативно.

Легко увидеть, что для всякого линейного оператора А  А. При этом если А только при , то оператор называется невырожденным; если же найдется такой вектор , что А, то оператор А – вырожденный.

Линейный оператор В  из  называется обратным для оператора А из , если выполняется соотношение АВ = ВА = Е. Обратный оператор обычно обозначается как А–1. Для того чтобы линейный оператор А из  имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы он был невырожденным.

Будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам  и  отвечают различные элементы А и А. Для того чтобы линейный оператор А  из  имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.

Ядром линейного оператора А  из  называется множество всех тех элементов  пространства V, для которых А. Обозначается как kerА. Для того чтобы оператор А имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы kerА = .

Областью значений линейного оператора А из  или образом пространства V при преобразовании А называется множество всех тех элементов  пространства V, представимых в виде А, где . Обозначается как imА. Для того чтобы оператор А имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы imА = V. Область значений и ядро линейного оператора А из  являются подпростанствами в V.

Рангом линейного оператора А называется число, обозначаемое символом rangА и равное размерности области значений оператора А rangА=dim(imА). Для того чтобы линейный оператор А из  имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы rangА = dimV = n.

Размерность ядра kerА называется дефектом линейного оператора А. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности n пространства V.

Назад     К началу страницы     Вперед

Источник: http://www.math.mrsu.ru/text/courses/method/deistviya.htm

Ранг, дефект линейного оператора

Ранг, дефект линейного оператора.

Образ нуля равен нулю. Действительно, , отсюда .

Множество векторов из W, образ которых равен 0, называется ядром линейного оператора. Ядро линейного преобразования обозначим ( ). Ядро является подпространством W (докажите) и его размерность называют дефектом и обозначают .

Множество всех образов векторов из W обозначают ( ). Множество образов является подпространством V (докажите), его размерность называют рангом линейного оператора и обозначают .

Теорема 6.21. .

Доказательство. Пусть – базис . По определению для каждого вектора существует прообраз из W. Система векторов является линейно независимой. Действительно, из равенства , выводим , или

. В силу линейной независимости, все коэффициенты равны 0, и система является линейно независимой. Аналогично показывается, что пересечение линейной оболочки векторов и состоит только из нулевого вектора.

Действительно, из включения , выводим , и далее, . Для любого вектора x из W найдутся коэффициенты, что , и . Таким образом W представляется в виде прямой суммы линейной оболочки векторов и .

Теорема вытекает из свойства прямой суммы.

Следствие 6.15. Можно выбрать базисы в пространствах W и V так, чтобы матрица линейного оператора имела диагональный вид, причем по диагонали расположены 1 и 0. Количество ненулевых элементов на диагонали равно рангу оператора.

Доказательство. Пусть и имеют тот же смысл, что и в доказательстве предыдущей теоремы. Дополним векторы до базиса V, а векторы до базиса W векторами из . Полученные базисы обозначим через и , соответственно.

Построим матрицу линейного оператора в этих базисах. Заметим, , а координаты вектора в базисе равны (0,…,0,1,0,…,0), где 1 стоит на i-ом месте. Таким образом, матрица линейного оператора в этих базисах имеет диагональный вид, причем по диагонали расположены 1 и 0.

Количество 1 равно рангу оператора.

7 Линейное преобразование

7.1 Линейное преобразование. Его матрица

Однозначное отображение линейного пространства V над числовым полем P в себя называется линейным преобразованием, если оно сохраняет линейность, то есть для любых и .

Линейное преобразование полностью определяется своими значениями на базисных векторах. Действительно, пусть базис V. Вектор x разложим по базису , где — координаты вектора x. По свойству линейного преобразования имеем .

Перейдем в последнем равенстве от равенства векторов к равенству их координат , которое можно записать используя матричное умножение следующим образом . Матрица называется матрицей линейного преобразования и обозначается .

Матрица линейного преобразования связывает координаты образа с координатами исходного вектора .

7.2 Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса.

Поскольку линейное преобразование частный случай линейного оператора, то можно воспользоваться полученной ранее формулой , где P – матрица перехода.

Матрицы A и B называются подобными, если существует невырожденная матрица P, что .

Вопрос о подобии матриц сводится к решению системы линейных уравнений , где в роли неизвестных выступают элементы матрицы P, с дополнительным нелинейным условием .

7.3 Алгебра линейных преобразований.

На множестве всех линейных преобразований пространства V расмотрим операции:

1. Умножение на число: .

2. Сложение (вычитание)

3. Умножение .

Легко проверить линейность всех этих преобразований и вывести следующие формулы, связывающие их матрицы

1.

2.

3.

Линейное преобразование, переводящее каждый вектор в себя, называется тождественным преобразованием и обозначается . В любом базисе матрица тождественного преобразования равна единичной.

Пусть — некоторый многочлен, — линейное преобразование пространства V. Сопоставим многочлену линейное преобразование . Будем говорить, что преобразование получено подстановкой в многочлен . Матрица может быть вычислена по формуле .

Свойство 7.14. Пусть . Тогда .

7.4 Инвариантные пространства

Подпространство W называется инвариантным относительно линейного преобразования , если для любого x из W его образ также принадлежит W.

Свойство 7.15. — инвариантное подпространство.

Доказательство. Пусть . Тогда .

Свойство 7.16. — инвариантное подпространство.

Доказательство. Пусть , тогда .

Свойство 7.17. Пусть — многочлен, тогда инвариантное пространство относительно .

Доказательство. Пусть , то есть . Далее, , то есть .

Свойство 7.18. Пусть — многочлен, тогда инвариантное пространство относительно .

Доказательство. Пусть , тогда . Далее, , то есть .

Знание инвариантных подпространств позволяет найти базис пространства, в котором матрица линейного преобразования имеет простую структуру. Действительно, пусть базис инвариантного подпространства W.

Дополним его до базиса всего пространства векторами . Координаты образов первых k векторов могут иметь только k первых ненулевых компонент.

Следовательно, в матрице линейного преобразования содержится в левом нижнем углу блок размером (nk)*k, состоящий из одних нулей.

Если пространство V представляется в виде прямой суммы инвариантных подпространств W и U, то построим базис пространства V, объединив базисы W и U. В построенном базисе матрица линейного преобразования будет иметь блочно диагональный вид.

Таким образом, структура матрицы линейного преобразования имеет тем более простой вид, чем меньше размерность инвариантных подпространств, в прямую сумму которых расщепляется исходное пространство V.



Источник: https://infopedia.su/18x10acf.html

Образ и ядро линейного оператора

Ранг, дефект линейного оператора.

Определение 1. Образом линейного оператора А называется множество всех элементов , представимых в виде , где .

Образ линейного оператора А является линейным подпространством пространства . Его размерность называется рангом оператора А.

Определение 2.Ядром линейного оператора А называется множество всех векторов , для которых .

Ядро является линейным подпространством пространства Х. Его размерность называется дефектом оператора А.

Если оператор А действует в -мерном пространстве Х, то справедливо следующее соотношение + = .

Оператор А называется невырожденным, если его ядро . Ранг невырожденного оператора равен размерности пространства Х.

Пусть — матрица линейного преобразования А пространства Х в некотором базисе, тогда координаты образа и прообраза связаны соотношением

.

Поэтому координаты любого вектора удовлетворяют системе уравнений

.

Отсюда следует, что ядро линейного оператора является линейной оболочкой фундаментальной системы решений данной системы.

Задачи

1. Доказать, что ранг оператора равен рангу его матрицы в произвольном базисе.

Вычислить ядра линейных операторов, заданных в некотором базисе пространства Х следующими матрицами:

2. 3.

4.

5. Доказать, что .

Вычислить ранг и дефект операторов, заданных следующими матрицами:

6. . 7. . 8. .

3. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

Рассмотрим линейный оператор А, действующий в — мерном пространстве Х.

Определение. Число l называется собственным значением оператора А, если , такой, что . При этом вектор называется собственным вектором оператора А.

Важнейшим свойством собственных векторов линейного оператора является то, что собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям линейно независимы.

Если — матрица линейного оператора А в базисе пространства Х, то собственные значения l и собственные векторы оператора А определяются следующим образом:

1. Собственные значения находят как корни характеристического уравнения (алгебраического уравнения -ой степени):

.

2. Координаты всех линейно независимых собственных векторов , соответствующих каждому отдельному собственному значению , получают, решая систему однородных линейных уравнений:

матрица которой имеет ранг . Фундаментальные решения этой системы являются вектор – столбцами из координат собственных векторов.

Корни характеристического уравнения называют также собственными значениями матрицы , а решения системы — собственными векторами матрицы .

Пример.Найти собственныевекторы и собственные значения оператора А, заданного в некотором базисе матрицей

1. Для определения собственных значений составляем и решаем характеристическое уравнение :

.

Отсюда собственное значение , его кратность .

2. Для определения собственных векторов составляем и решаем систему уравнений :

Эквивалентная система базисных уравнений имеет вид

Поэтому всякий собственный вектор представляет собой вектор-столбец , где с – произвольная константа.

3.1.Оператор простой структуры.

Определение. Линейный оператор А, действующий в n – мерном пространстве называется оператором простой структуры, если ему соответствует ровно n линейно независимых собственных векторов. В этом случае можно построить базис пространства из собственных векторов оператора, в котором матрица оператора имеет наиболее простой диагональный вид

,

где — собственные значения оператора. Очевидно, что верно и обратное: если в некотором базисе пространства Х матрица оператора имеет диагональный вид, то базис состоит из собственных векторов оператора.

Линейный оператор А является оператором простой структуры тогда и только тогда, когда каждому собственному значению кратности соответствует ровно линейно независимых собственных векторов. Так как собственные векторы есть решения системы уравнений то, следовательно, каждому корню характеристического уравнения кратности , должна соответствовать матрица ранга .

Всякая матрица размера , соответствующая оператору простой структуры, подобна диагональной матрице

,

где матрица перехода Т от исходного базиса к базису из собственных векторов имеет своими столбцами вектор-столбцы из координат собственных векторов матрицы (оператора А).

Пример.Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду

.

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.

Откуда собственные значения кратности и кратности .

Первое собственное значение . Ему соответствуют собственные векторы, координаты которых являются

решением системы

Ранг данной системы равен 3, поэтому имеется только одно независимое решение, например, вектор .

Собственные векторы, соответствующие , определяются системой уравнений

ранг которой равен 1 и, следовательно, существует три линейно независимых решения, например,

, , .

Таким образом, каждому собственному значению кратности соответствует ровно линейно независимых собственных векторов и, следовательно, оператор является оператором простой структуры. Матрица перехода Т имеет вид

и связь между подобными матрицами и определяется соотношением

= .

Задачи

Найти собственные векторы и собственные значения

линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Определить какие из следующих линейных операторов можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису. Найти этот базис и соответствующую ему матрицу:

7. 8. 9.

10. Доказать, что собственные векторы линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям линейно независимы.

11. Доказать, что если линейный оператор А, действующий в , имеет n различных значений, то любой линейный оператор В перестановочный с А, обладает базисом собственных векторов, причем любой собственный вектор А будет собственным и для В.

ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

Определение 1.. Подпространство L линейного пространства X называется инвариантным относительно оператора А, действующего в X, если для каждого вектора его образ также принадлежит .

Основные свойства инвариантных подпространств определяются следующими соотношениями:

1. Если и являются инвариантными подпространствами относительно оператора А, то их сумма и пересечение также инвариантны относительно оператора А.

2. Если пространство Х разлагается в прямую сумму подпространств и ( ) и инвариантно относительно А, то матрица оператора в базисе, который является объединением базисов и есть блочная матрица

,

где — квадратные матрицы, 0 – нулевая матрица.

3. Во всяком инвариантном относительно оператора А подпространстве оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Пример 1.Рассмотрим ядро некоторого оператора А, действующего в Х. По определению . Пусть . Тогда , так как нулевой вектор содержится во всяком линейном подпространстве. Следовательно, ядро — инвариантное относительно А подпространство.

Пример 2.Пусть в некотором базисе пространства Х оператор А задается матрицей

.

Определить все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно А.

Проще всего задача решается в базисе, составленном из собственных векторов оператора, если такой базис существует. Поэтому найдем вначале собственные векторы А.

Составим и решим характеристическое уравнение

.

Откуда собственные значения кратности и кратности . Первое собственное значение простое. Соответствующий ему собственный вектор определяется системой уравнений

решая которую получим, например, .

Собственные векторы для определяются уравнением

,

имеющим два линейно независимых решения, например, и . Таким образом, в нашем случае существует базис из собственных векторов.

Пусть теперь . Тогда вектор . Воспользовавшись теперь определением инвариантного подпространства, получим, что инвариантными будут следующие подпространства:

1. Прямая с базисным вектором .

2. Прямые с базисными векторами и .

3. Линейная оболочка векторов , т.е. плоскость, задаваемая уравнением .

4. Линейные оболочки векторов и .

5. Все трехмерное пространство и нулевое пространство.

Задачи

1. Линейный оператор А задается в базисе

матрицей

.

Показать, что линейная оболочка векторов и является подпространством инвариантным относительно оператора А.

2. Доказать, что линейная оболочка любой системы собственных векторов оператора А является инвариантным подпространством.

3. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно оператора, заданного в некотором базисе матрицей

.

4. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно двух линейных операторов, заданных матрицами

.

5. Доказать, что любое подпространство , инвариантное относительно невырожденного оператора А, будет инвариантно и относительно обратного оператора .

6. Пусть линейное преобразование А -мерного пространства в базисе имеет диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все подпространства, инвариантные относительно А, и определить их число.

.

Источник: https://mylektsii.ru/2-72618.html

Действия с линейными операторами. Образ, ядро, ранг, дефект линейного оператора

Ранг, дефект линейного оператора.

Занятие 4 (Фдз 5).

4.1. Умножение линейного оператора на число, сложение линейных операторов, перемножение линейных операторов. Связь указанных действий с соответствующими операциями над матрицами линейных операторов.

4.2. Условие существования обратного отображения к линейному оператору, его свойства. Матрица обратного оператора, ее нахождение по матрице оператора.

4.3. Ядро и образ линейного оператора, их свойства. Ранг и дефект линейного оператора. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа, ранга, дефекта.

4.1. Пусть даны два линейных оператора , действующие в одном и том же конечномерном линейном пространстве размерности .

По определению.

1) При умножении линейного оператора на число получается линейный оператор , действующий по правилу: , где .

2) При сложении линейных операторов и получается линейный оператор , действующий по правилу: , где .

3) Произведение линейных операторов и также дает линейный оператор , действующий по правилу .

Аналогично определяется произведение : , где .

Отметим, что и (в общем случае).

Пусть — базис пространства и

— матрицы линейных операторов , в базисе .

Тогда матрицы операторов , , , в базисе находятся так:

— матрица оператора в базисе ;

— матрица оператора в базисе ;

— матрица оператора в базисе ;

— — матрица оператора в базисе .

Пример 1. Даны два линейных оператора и :

— оператор поворота векторов на декартовой плоскости (вокруг начала координат против часовой стрелки) на угол ;

— оператор проектирования векторов на ось .

Найти матрицы операторов в базисе , где — единичные векторы на осях .

Решение.

Сначала найдем матрицы операторов в базисе .

— первый столбец матрицы ,

второй столбец матрицы . Следовательно, .

— первый столбец матрицы ,

второй столбец матрицы . Следовательно, .

Обозначим — матрицы операторов в базисе .

Найдем эти матрицы с помощью матриц .

.

.

.

4.2. В случае, когда линейный оператор осуществляет взаимно однозначное отображение линейного пространства на себя, то существует обратный линейный оператор . Если — матрица оператора в базисе пространства , то матрица оператора в этом базисе равна . Следовательно, линейный оператор обратим (имеет обратный оператор ) тогда и только тогда, когда матрица оператора не вырождена (т.е. ).

Пример 2. Выяснить, какие из линейных операторов , примера 1 являются обратимыми?

Решение.

Матрица оператора (в базисе ) равна

. .

Следовательно, матрица не вырождена (отсюда сразу же вытекает, что в любом другом базисе матрица оператора также не вырождена). Оператор обратим, и матрица обратного оператора в базисе равна

.

Матрица оператора (в базисе ) равна

. .

Следовательно, матрица вырождена (отсюда сразу же вытекает, что в любом другом базисе матрица оператора также вырождена). Оператор не обратим, и обратного оператора не существует.

4.3. Ядром линейного оператора называется множество всех , для которых . Для ядра линейного оператора принято обозначение . Ядро не может быть пустым множеством, т.к. для любого линейного оператора и, значит, нулевой элемент линейного пространства всегда принадлежит множеству .

Образ линейного оператора и ядро этого оператора являются линейными подпространствами в пространстве .

Рангом линейного оператора называется размерность образа этого оператора. Дефектом линейного оператора называется размерность ядра этого оператора. Если , то

.

Если известна матрица линейного оператора в каком-нибудь базисе , то ранг этого оператора можно найти по рангу матрицы : .

Пример 3. Найти ядро, образ, а также ранг и дефект линейного оператора , где , и оператор действует по правилу

.

Решение.

. Базис пространства состоит из четырех многочленов. Например, многочлены , , , образуют базис .

Найдем образ оператора .

.

— линейная оболочка трех многочленов . Эти многочлены представляют полную линейно независимую систему в . Следовательно, — базис . Значит, — ранг оператора .

дефект оператора .

Найдем ядро оператора . Ядро состоит из тех многочленов , для которых .

.

Многочлен тождественно равен нулю (т.е. для всех ) тогда и только тогда, когда коэффициенты при всех степенях равны нулю.

Следовательно, .

Таким образом, ядро образует множество всех постоянных многочленов.

— одномерное линейное пространство (его базисом служит ) . Этот результат подтверждает ранее найденное значение дефекта оператора.

Ранг оператора можно получить другим способом. Найдем матрицу оператора в базисе , , , пространства .

— первый столбец матрицы .

— второй столбец матрицы .

— третий столбец матрицы .

— четвертый столбец матрицы .

. Ранг этой матрицы равен трем. Следовательно, .

Пример 4. Найти образ, ядро, ранг и дефект линейного оператора , где , и оператор действует по правилу , где .

Решение.

Стандартным базисом пространства служит система матриц .

Найдем образ оператора .

, где — произвольное число (в силу произвольности чисел ). Следовательно,

— одномерная линейная оболочка с базисом .

— ранг , — дефект .

Найдем ядро оператора . Нулевым элементом пространства является нулевая матрица.

.

Общее решение полученной системы из одного уравнения с четырьмя неизвестными (если считать свободными неизвестными) записать в виде

, где .

— линейная оболочка с базисом .

Вычислим теперь ранг оператора по матрице этого оператора. Матрицу оператора проще всего найти в базисе пространства .

— первый столбец матрицы .

— второй столбец матрицы .

— третий столбец матрицы .

— четвертый столбец матрицы .

.

Матрица получена из матрицы так: ко 2-й строке матрицы прибавили 3-ю строку.

Ранги матриц и одинаковы. .

___________________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Даны два линейных оператора , действующие в пространстве .

— оператор поворота векторов плоскости против часовой стрелки вокруг начала координат на угол .

— оператор проектирования векторов плоскости на прямую .

Найти матрицы операторов в базисе . Указать, какие из операторов имеют обратный оператор?

2. Найти ядро, образ, ранг и дефект линейного оператора

, .

Допускает ли данный оператор обратный оператор ?

3. Найти ядро, образ, ранг и дефект линейного оператора ,

действующего в линейном пространстве .

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

Источник: https://megalektsii.ru/s38267t10.html

Линейная алгебра. Занятие 7. Элементарная теория линейных операторов. Теоретическая справка

Ранг, дефект линейного оператора.

Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису ~ Образ и ядро линейного оператора ~ Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Пусть заданы линейные пространства и . Правило, по которому  каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент , называется оператором, действующим в линейных пространствах . Результат  действия оператора на элемент обозначают или . Если элементы и связаны соотношением , то называют образом элемента ; элемент прообразом элемента .

Множество элементов линейного пространства , для которых определено действие оператора , называют областью определения оператора и обозначают .

Множество элементов линейного пространства , которые являются образами элементов из области определения  оператора , называют образом оператора и обозначают . Если , то .

Оператор , действующий в линейных пространствах называется линейным оператором, если и для любых и для любого числа .

Если пространства и совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве . В дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных операторов, действующих в линейном пространстве .

Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве , и пусть базис в . Обозначим через образы базисных векторов .

Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно каждая  квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа с координатами прообраза , с другой стороны,  описывают действие оператора, заданного матрицей .

При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве произошел переход от базиса к базису . Связь между матрицей оператора в базисе   и матрицей этого оператора в базисе задается формулой .

Здесь   матрица перехода от базиса к базису и обратная к ней.

ПРИМЕР 1. Матрица оператора в новом базисе.

Образ и ядро линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве . Доказано, что образ линейного оператора линейное пространство. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается .

Ядром линейного оператора называется множество элементов из , образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают : . Ядро линейного оператора линейное пространство; размерность ядра линейного оператора называется дефектомоператора, обозначается : .

Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве , справедливы следующие утверждения:

сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор: ;

ранг оператора равен рангу его матрицы;

ядро оператора совпадает с множеством  решений линейной однородной системы с матрицей , размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.

ПРИМЕР 2. Образ и ядро линейного оператора.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Пусть линейный оператор, действующий в линейном пространстве.

Число называется собственным значением, а ненулевой вектор соответствующим собственным вектором линейного оператора , если они связаны между собой соотношением  .

Пусть матрица оператора в некотором базисе.

Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением , где   единичная матрица, а нулевой элемент пространства .

Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы , которое существует тогда и только тогда, когда  .

Следовательно,  собственные  значения  линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения , а собственные векторы — как решения соответствующих однородных систем.

Уравнение называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен характеристическим многочленом оператора.

Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:

характеристический многочлен оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве является многочленом  n-й степени относительно ;

линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве имеет не более различных собственных значений;

собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы;

если линейный оператор, действующий в  n-мерном линейном пространстве , имеет различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве ; этот базис называют собственным базисом оператора;

матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.

ПРИМЕР 3. Собственные значения и собственные векторы оператора.

Источник: http://old.exponenta.ru/EDUCAT/CLASS/courses/la/theme7/theory.asp

Uchebnik-free
Добавить комментарий