. Прямая сумма подпространств. Проекция.

. Прямая сумма подпространств. Проекция

. Прямая сумма подпространств. Проекция.

Определение 7.34 Суммаподпространств и называется прямой, если .Обозначение прямой суммы .

Теорема 7.42. Пусть .Тогда любой вектор изVединственным образом представляетсяв виде суммы векторов из подпространстви ,x=y+z.Вектор yназывается проекцией xна параллельно ,а вектор zназывается проекцией xна параллельно .

Доказательство.Допустим, найдётся вектор ,который раскладывается в сумму векторовиз подпространств и не единственным образом. Пусть ,где и . Тогда справедливо равенство,в левой части которого стоит вектор из,а в правой – вектор из .Поскольку пересечение этих подпространствсостоит только из нулевого вектора, то,и, значит, a=c,b=d.

Следствие 7.23. Еслисумма прямая, то и базис получаетсяобъединением базисов Vи W.

Доказательство.По определению прямой суммы размерностьпересечения равна нулю, и, значит, (Теорема 7 .41). Обозначим через базис V,а через — базис W.Покажем линейную независимость системывекторов .

Допустим, найдутся коэффициенты, что,тогда справедливо равенство .Поскольку в левой части равенства стоитвектор из V,а в правой – вектор из W,то и ,и, значит, все коэффициенты равны нулю.

Число векторов в линейно независимой системе векторов совпадает с размерностью суммыпространств, следовательно, она являетсябазисом.

Пусть в пространстве Vзаданы два базиса: и .Координаты вектора x вэтих базисах обозначим через и соответственно. Установим связь междукоординатами вектора в различныхбазисах. Выразим векторы первого базисачерез векторы второго: .По определению координат .

Подставим вместо векторов базиса e,их выражения через векторы базиса f,получим равенство.Преобразуем левую часть равенства(поменяем порядок суммирования) .В силу единственности координат векторавыводим равенства ,или в матричном виде ,где на пересечении строки iи столбца j матрицы Pстоит .Матрица P называетсяматрицей перехода.

Отметим, что в jстолбце матрицы P стояткоординаты вектора в базисе f.

Обозначим через матрицу перехода от базиса eк базису f. Равенство справедливо для всех векторов x.Следовательно, ,или .В качестве следствия из этого равенстваи условия существования обратной матрицывыводим невырожденность матрицыперехода.

Обратно, пусть матрица P– невырожденная. Положим .Система векторов образует базис в пространстве V.Действительно, поскольку матрица Pневырожденная, то к ней существуетобратная матрица .

Далее, (выражение представляет собой элемент произведенияматриц PT=E,стоящий на пересечении строки sи столбца i). Посколькукаждый вектор из базиса eлинейно выражается через векторы системыf, то система fявляется полной, а т.к.

система состоитиз n векторов, то онаявляется минимальной, а, значит, образуетбазис пространства. Матрицей переходаот базиса e к базису fявляется матрица P.

Рассмотрим систему векторов из арифметического пространства .Матрицу, составленную из столбцов ,обозначим A.

Теорема 7.43 Критерийлинейной независимости системы векторов.

Система векторов из арифметического пространства является линейно зависимой тогда итолько тогда, когда определитель матрицыравен нулю.

Доказательство. Если система линейно зависима, то найдутся числа не все равные нулю, что .Не нарушая общности можно считать, что(иначе перенумеруем векторы), и (иначе поделим все числа на ).

Определитель не изменится, если к первомустолбцу прибавить остальные столбцы скоэффициентами ,а определитель матрицы, содержащийнулевой столбец равен нулю. Такимобразом, если система векторов линейнозависима, то определитель матрицы равеннулю.

Если матрица Aневырожденная, её можно рассматриватькак матрицу перехода от базиса к .

Система векторов из арифметического пространства является линейной независимой тогда итолько тогда, когда её можно дополнитьдо базиса всего пространства какими товекторами из системы .По доказанной теореме, система образует базис в том и только том случае,если определитель матрицы отличен от нуля.

Определитель этойматрицы, с точность до знака, совпадаетс минором k-го порядкаматрицы ,получающегося вычёркиванием строчекс номерами .Следовательно, система векторов является линейно зависимой тогда итолько тогда, когда все миноры k-гопорядка матрицы равны нулю.

Оформим полученный результатв виде теоремы.

Теорема 7.44 Система линейно зависима тогда и только тогда,когда все миноры k-гопорядка матрицы равны нулю.

Источник: https://studfile.net/preview/7455125/page:20/

Лекция 12

. Прямая сумма подпространств. Проекция.

   Пусть  — система векторов в евклидовом (унитарном) пространстве.

   Матрицей Грама данной системы векторов называется матрица вида: .

       Матрице Грама поставим в соответствие ее определитель: .

Свойства определителя Грама:

1. 

2.  — линейно зависимы.

3.  Для , — квадрат длины вектора.

,  — квадрат площади.

,  — квадрат объема.

,  — квадрат объема -мерного параллелепипеда, со сторонами .

    4. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта не меняет определитель Грама.

Для доказательства этого установим, что если к одному из векторов прибавить линейную комбинацию остальных, состоящую из одного вектора, то определитель не изменится. 

Умножим первый столбец на  и прибавим к -тому столбцу:

умножим первую строку на и прибавим к -той строке, получим определитель Грама:

.

Что и требовалось доказать.

Используя это обстоятельство, мы ортогонализируем систему векторов методом Грама-Шмидта: 

, где .Следовательно

  .

При этом, для ,  — квадрат площади,

для ,  — квадрат объема исходного параллелепипеда.

Чтобы найти высоту  , опущенную из  на основание  достаточно вычислить .

Скалярное произведение в произвольном базисе

Пусть  — базис евклидова пространства ,

                       ,

рассмотрим скалярное произведение:

=

                                          (*)

Если записать (*) в матричном виде, то получим:

.

Если базис  — ортонормированный, то , то

.

Ортогональное дополнение подпространства

M

из

L

Пусть  — евклидово (унитарное) пространство, подпространство . Вектор  называется  ортогональным  к  подпространству  ,  если  для всех    .

                    Множество всех  векторов  ортогональных  к  подпространству  называется ортогональным дополнением и обозначается .

Очевидно,  М┴ является подпространством пространства , причем для  размерности подпространств   и размерность пространства   связаны соотношением 

                                   .

Действительно,  выберем базис  подпространства , дополним его до базиса , получим . Ортогонализируем  данный базис методом Грамма-Шмидта, получим: — базис пространства  ,

  — базис подпространства  ,  — базис  подпространства  ортогонального дополнения .

Говорят, что пространство  является прямой ортогональной суммой своих подпространств   и   :

Прямая сумма подпространств

Пространство  является прямой суммой подпространств , если

1. любой вектор  представляется в виде , где 

2. представление единственно.

Обозначается   .

Если пространство евклидово и выполняется дополнительно условие

3.   при ,

то прямая сумма состоит из попарно ортогональных подпространств (ортогональная сумма) и обозначается так  .

Проекция  вектора  на подпространство

Пусть    — вектор евклидова пространства  ,  -линейная оболочка системы векторов  из  ,  подпространство пространства  .  Для того, чтобы найти ортогональную проекцию вектора   на   потупим так.

Сдвигаем конец  параллельно подпространству  так, чтобы полученный вектор    стал ортогонален к подпространству .  Следовательно,

,

где числа   должны быть подобраны так, чтобы

выполнялась система равенств 

/p>

Из данной системы получаем систему уравнений относительно чисел 

   (*)

Решив её,  находим  ортогональную  проекцию  вектора   на  .  В результате получаем разложение    

                                .

При этом   длина  вектора   является кратчайшим расстоянием от вектора   до подпространства   и  (почему?)

                             .

Система уравнений (*) для нахождения чисел   называется системой нормальных уравнений.  Отметим, что эта система всегда имеет решение,  из которого однозначно находится вектор .

Однако, если система  векторов   линейно зависима,  мы имеем не единственное решение для чисел  .

  В этом случае, полезно сначала построить базис  подпространства   ,   а затем,  составить систему нормальных уравнений, используя  найденный базис.              

О расстоянии от точки 

 до подпространства  

Расстояние   от точки   до  подпространства  определяется  как точная нижняя грань  всех расстояний  , где точка   

                                   .

Теорема.  Существует единственная точка   ,  для которой  

                                        . 

При этом вектор   ортогонален каждому  вектору из  .

Доказательство.  Пусть   такая точка , что   вектор  ортогонален каждому  вектору из  . Возьмем произвольно точку  .  Тогда 

                                    .

Вектор , так как   и  — подпространство. Имеем

                                .

Следовательно

                         .

Из этого неравенства вытекает, что точка ,  является единственной точкой,  на  которой реализуется расстояние   .  Существование  точки  ,  для которой вектор   ортогонален каждому  вектору из  подпространства ,  было доказано ранее.       

Источник: http://math-lessons.ru/linear_algebra/Lectures/L12.html

Uchebnik-free
Добавить комментарий