Парабола есть геометрическое место точек ________ Каноническое уравнение параболы

Парабола, её каноническое уравнение, вершина, форма и характеристики параболы

Парабола есть геометрическое место точек ________ Каноническое уравнение параболы

Чтобы получить каноническое уравнение параболы, расположим директрису перпендикулярно оси , а фокус  на оси  так, чтобы начало координат помещался на одинаковом расстоянии от них (см. рис. 1). Обозначим через  расстояние от фокуса к директрисе, тогда у фокуса будут координаты , .

Для произвольной точки параболы расстояний , а расстояние к директрисе . По определению из рис. 1 видим, что , а и поэтому:

Рис. 1

(1)

– каноническое уравнение параболы.

Что такое вершина параболы

Вершина параболы – это парабола, которая проходит через точки . Если точка принадлежит параболе, то и тоже принадлежит параболе, так как из:

.

Значит, парабола симметрична относительно оси , её график достаточно построить в первой четверти, где из канонического уравнения параболы получается, что:

Чтобы найти вершину параболы, необходимо знать формулу: .

Давайте посмотрим, как данная формула действует, допустим дано уравнение:

Тогда:

, , .  Чтобы найти величины , и , в квадратном уравнении коэффициент при , при , постоянная (коэффициент без переменной) = . Если взять тот же пример, , получается, что:

, , .

Форма и характеристики параболы

Исследуем за каноническим уравнением форму и расположение параболы:

1. В уравнении переменная входит в парной степени откуда получается, что парабола симметрична относительно оси .  Ось – это ось, которая симметрична параболе.

2. Так как , тогда , откуда получается, что парабола расположена справа от оси .

3. При мы имеем , то есть парабола проходит через начало координат. Точка – это вершина параболы.

4. При увеличении значений переменной модуль тоже возрастает. Изобразим параболу на рисунке:

Рис. 2

5. В полярной системе координат, у канонического уравнения параболы такой вид:

6. Уравнение , , , тоже описывают параболы:

Рис. 3

Оптическое свойство параболы

У параболы “оптическое” свойство, если: в фокусе параболы поместить источник света, тогда отбитые от параболы лучи будут параллельными оси . Это свойство учитывают при изготовлении прожекторов, зеркальных телескопов, теле- и радио антенн.

При положительном уравнении:

описывают параболу симметричную относительно с вершиной в точке , ветви которой направлены влево (рис. 3 (а)).

Аналогично изложенному, уравнение и описывают параболы с вершиной в точке симметрично относительно , ветви которой направлены соответственно вверх и вниз (см. рис. 3 (б) и (в)). Если например, уравнение решить относительно

 и обозначить , тогда получим известное со школьного курса уравнение параболы . Теперь её фокусное расстояние .

Примеры решения

Пример 1

Задача

Найти координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы .

Решение

Сравнивая каноническое уравнение и данное , получим , , тогда. Так как уравнение директрисы , тогда в данном случае .

Ответ

координаты фокуса: , а уравнение директрисы параболы: .

Пример 2

Задача

Составить каноническое уравнение параболы:

а) с фокусом в точке ;

б) с фокусом в точке .

Решение

а). Так как фокус  на положительной полуоси , тогда парабола симметрична относительно с вершиной в точке и , поэтому и согласно формуле (1) .

б). Фокус  лежит на отрицательной полуоси с вершиной в точке , ветви направлены вниз, каноническое уравнение следует искать в виде . Фокусное расстояние параболы и уравнение запишется .

Ответ

а) каноническое уравнение параболы с фокусом в точке :  ;

б) каноническое уравнение с фокусом в точке : .

Пример 3

Задача

Показать путём выделения полного квадрата, что уравнение – это уравнение параболы. Привести его к каноническому виду. Найти вершину, фокус, ось и директрису этой параболы.

Решение

Выделим относительно переменной полный квадрат

= = = = = = .

Обозначим , .  Тогда в результате параллельного переноса координатных осей в новое начало, то есть в точку , получим каноническое уравнение параболы .

Ветви этой параболы направлены вниз симметрично относительно оси , , – фокусное расстояние. В новой системе координат фокус находится в точке , уравнение директрисы в новой системе .

Повернёмся к старым координатам при помощи замены , . Уравнение оси в новой системе , а в старой – уравнение оси параболы.

Уравнение директрисы в новой системе координат , а в старой .

В новой системе для фокуса , , а в старой системе , , то есть .

Ответ

Каноническое уравнение параболы – ;

вершина – ветви параболы направлены вниз;

, , – фокусное расстояние, а фокус находится в точке ;

уравнение оси ;

уравнение директрисы .

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/parabola/

Каноническое уравнение параболы

Парабола есть геометрическое место точек ________ Каноническое уравнение параболы

Определение 1

Парабола — это кривая, образованная геометрическим множеством точек, находящихся на одинаковом расстоянии от некой точки $F$, называемой фокусом и не лежащей ни на этой кривой, ни на прямой $d$.

То есть отношение расстояний от произвольной точки на параболе до фокуса и от этой же точки до директрисы всегда равно единице, это отношение называется эксцентриситетом.

Термин “эксцентриситет” также используется для гипербол и эллипсов.

Основные термины из канонического уравнения параболы

Точка $F$ называется фокусом параболы, а прямая $d$ — её директрисой.

Осью симметрии параболы называется прямая, проходящая через вершину параболы $O$ и её фокус $F$, так, что она образует прямой угол с директрисой $d$.

Вершиной параболы называется точка, расстояние от которой до директрисы минимальное. Эта точка делит расстояние от фокуса до директрисы пополам.

Что из себя представляет каноническое уравнение параболы

Определение 2

Каноническое уравнение параболы довольно простое, его несложно запомнить и оно имеет следующий вид:

$y2 = 2px$, где число $p$ должно быть больше нуля.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Число $p$ из уравнения носит название «фокальный параметр».

Данное уравнение параболы, вернее именно эта наиболее часто применяемая в высшей математике формула, применимо в том случае, когда ось параболы совпадает с осью $OX$, то есть парабола располагается как будто на боку.

Парабола, описанная уравнением $x2 = 2py$ — это парабола, ось которой совпадает с осью $OY$, к таким параболам мы привыкли в школе.

А парабола, которая имеет минус перед второй частью уравнения ($y2 = — 2px$), развёрнута на 180° по отношению к каноничной параболе.

Парабола является частным случаем кривой 2-ого порядка, соответственно, в общем виде уравнение для параболы выглядит точно также как для всех таких кривых и подходит для всех случаев, а не только когда парабола параллельна $OX$.

При этом дискриминант, вычисляющийся по формуле $B2 – 4AC$ равен нулю, а само уравнение выглядит так:$Ax2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y2 + D\cdot x + E\cdot y + F = 0$

Вывод с помощью графика канонического уравнения для параболы

Рисунок 1. График и вывод канонического уравнения параболы

Из определения, приведённого выше в данной статье, составим уравнение для параболы с верхушкой, расположенной на пересечении координатных осей.

Используя имеющийся график, определим по нему $x$ и $y$ точки $F$ из определения параболической кривой, данного выше, $x = \frac{p}{2}$ и $y = 0$.

Для начала составим уравнение для прямой $d$ и запишем его: $x = — \frac{p}{2}$.

Для произвольной точки M, лежащей на нашей кривой, согласно определению, справедливо следующее соотношение:

$FM$ = $ММ_d$ (1), где $М_d$ — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c директрисой $d$.

Икс и игрек для этой точки равны $\frac{p}{2}$ $y$ соответственно.

Запишем уравнение (1) в координатной форме:

$\sqrt{(x — \frac{p}{2})2 + y2 }= x + \frac{p}{2}$

Теперь для того чтобы избавиться от корня необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:

$(x — \frac{p}{2})2 + y2 = x2 +px2 + \frac{p2}{4}$

После упрощения получаем каноническое уравнение параболы:$y2 = px$.

Парабола, описываемая с помощью квадратичной функции

Уравнение, описывающее параболу с верхушкой, расположенной где угодно на графике и необязательно совпадающей с пересечением осей координат, выглядит так:

$y = ax2 + bx + c$.

Чтобы вычислить $x$ и $y$ для вершины такой параболы, необходимо воспользоваться следующими формулами:

$x_A = — \frac{b}{2a}$

$y_A = — \frac{D}{4a}$, где $D = b2 – 4ac$.

Пример 1

Пример составления классического уравнения параболы

Задача. Зная расположение фокусной точки, составить каноническое уравнение параболы. Координаты точки фокуса $F$ $(4; 0)$.

Так как мы рассматриваем параболу, график которой задан каноническим уравнением, то её вершина $O$ находится на пересечении осей икс и игрек, следовательно расстояние от фокуса до вершины равно $\frac{1}{2}$ фокального параметра $\frac{p}{2} = 4$. Путём нехитрых вычислений получим, что сам фокальный параметр $p = 8$.

После подстановки значения $p$ в каноническую форму уравнения, наше уравнение примет вид $y2 = 16x$.

Как составить уравнение параболы по имеющемуся графику

Пример 2

Рисунок 2. Каноническое уравнение для параболы график и пример для решения

Для начала необходимо выбрать точку $М$, принадлежащую графику нашей функции, и, опустив из неё перпендикуляры на оси $OX$ и $OY$, записать её икс и игрек, в нашем случае точка $M$ это $(2;2)$.

Теперь нужно подставить полученные для этой точки $x$ и $y$ в каноническое уравнение параболы $y2 = px$, получаем:

$22 = 2 \cdot 2p$

Сократив, получаем следующее уравнение параболы $y2 = 2 \cdot x$.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/parabola/kanonicheskoe_uravnenie_paraboly/

Лекция 4. § 120. Парабола и её каноническое уравнение

Парабола есть геометрическое место точек ________ Каноническое уравнение параболы

Аналитическая геометрия.

Глава 8. Канонические уравнения линий

Лекция 4. § 120. Парабола и её каноническое уравнение

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус и называемой директрисой.

Определение. Расстояние от фокуса параболы до её директрисы называется параметром параболы. Эксцентриситет параболы принимается равным единице.

Опустим из фокуса перпендикуляр на директрису и точку пересечения этого перпендикуляра с директрисой параболы обозначим буквой . Введём на плоскости ДПСК, поместив начало координат в центре отрезка , принимая за ось прямую , с положительным направлением от к (См. рис.176).

Рис. 176

Расстояние от фокуса до директрисы обозначим буквой (это параметр параболы). В выбранной системе координат фокус имеет координаты . Уравнение директрисы .

Пусть — произвольная точка плоскости. Обозначим через расстояние от точки до фокуса параболы, а через — расстояние от точки до директрисы этой параболы.

Точка лежит на данной параболе тогда и

только тогда, когда . Так как ,

а , то уравнение параболы имеет вид:

. Это уравнение эквивалентно следующему уравнению: .

Или: (1)

Определение. Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы.

§ 121. Исследование формы параболы.

Так как ордината в каноническое уравнение параболы входит во второй степени, то ось является осью симметрии параболы .

Определение. Точка пересечения параболы с её осью симметрии называется вершиной параболы. Парабола (1) имеет только одну вершину .

Из уравнения следует, что (т.к. , а ). Разрешая уравнение относительно и беря для лишь неотрицательное значение , видим, что в полуинтервале — возрастающая функция , причём .

Всякая прямая пересекает параболу не более чем в двух точках (т.к. прямая определяется уравнением первой степени, а парабола — второй. Проведённое исследование даёт представление о форме параболы (См. рис. 177).

Рис. 177

Замечание. Уравнение , где сводится к уравнению заменой на , т.е. путём преобразования системы координат, которое соответствует изменению положительного направления оси на противоположное.

Отсюда следует, что парабола симметрична с параболой относительно оси (См. рис.178). Аналогичными рассуждениями устанавливаем, чтокаждое из уравнений: ; (2) где определяет параболу с вершиной в начале координат и осью симметрии (См. рис. 179, 180).

Рис. 179

Уравнение (2) пишут часто в виде, разрешённом относительно ординаты : , где ; ( ).

§ 123. Касательная к параболе.

В курсе математического анализа доказывается, что если функция в точке имеет производную, то уравнение касательной к линии, выражаемой уравнением в точке , где имеет вид: . Теперь, если парабола задана уравнением , , то уравнение касательной к ней в точке будет иметь вид: . Раскрываем скобки: , и, т.к. , откуда , то или (3)

Полагая в уравнении (3) , находим точку , пересечения касательной к параболе (3) с её осью симметрии.

Отсюда вытекает следующий способ построения касательной к параболе в данной точке . Опускаем из точки перпендикуляр на ось симметрии параболы и откладываем на оси симметрии параболы отрезок (См. рис.). Прямая и будет касательной к параболе в точке .

§ 124. Оптическое свойство параболы.

Теорема 1. Касательная к параболе является биссектрисой угла между фокальным радиусом точки касания и перпендикуляром , опущенным из точки касания на директрису.

Рис. 183. Рис. 184.

Доказательство. Имеем (См. рис. 184): , . Но , . Следо-вательно: , т.е. . Поэтому треугольник равнобедренный и, значит: ; но ; следовательно . Что и требовалось доказать.

Эта теорема имеет следующее оптическое истолкование: если в фокусе параболического зеркала поместить источник света, то лучи, отразившись от зеркала, образуют пучок параллельных лучей. Указанное свойство параболического зеркала применяется при устройстве зеркальных прожекторов.

§ 125. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.

Часто используют уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат. Мы фиксируем полюс полярной системы координат в фокусе кривой. При этом для эллипса выбираем левый фокус, а для гиперболы — правый. Полярную ось выбираем так, чтобы её направление совпадало с положительным направлением оси абсцисс.

Все три вида кривых описываются общим свойством: для любой точки отношение расстояний до фокуса и до директрисы постоянно и равно эксцентриситету кривой. Значение эксцентриситета определяет тип кривой.

Если зафиксировать фокальный параметр (это расстояние от фокуса до директрисы) так, что положение директрисы в выбранной системе координат будет оставаться неизменным, то варьируя эксцентриситет, получим единый ряд эллипсов, параболы, правых ветвей гипербол (См. рис. 11.25).

Конкретная кривая определяется своим эксцентриситетом при помощи уравнения: , (4)

где — полярный, он же фокальный радиус точки на кривой, — перпендикуляр, опущенный из точки на директрису (См. рис. 11.25 ).

Так как , то подставив это выражение в (4), получим: или (5)

Уравнение (5) называется полярным уравнением эллипса, параболы, правой ветви гиперболы.

§ 126. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения.

Рассмотрим поверхность прямого кругового конуса, неограниченно простирающегося по обе стороны от его вершины.

Плоскость, проходящая через вершину конуса может занимать относительно этого конуса следующие три положения:

1) Иметь с конусом только одну общую точку (вершину конуса (См. рис.187)).

2) Касаться конуса вдоль его образующей (См. рис.188).

3) Пересекать конус по двум различным его образующим (См. рис.189).

Плоскость, не проходящая через вершину конуса, может занимать относительно конуса также три различных положения: 1) Пересекать все образующие конуса (См.рис.190)

2) Быть параллельной только одной образующей конуса (См. рис.191).

3) Быть параллельной двум различным образующим конуса (См. рис.192).

Теорема 2. Плоскость, не проходящая через вершину прямого кругового конуса, пересекает его по эллипсу, если она пересекает все образующие конуса (См. рис.190), по параболе, если она параллельна только одной образующей конуса (См. рис.191) и по гиперболе, если она параллельна двум образующим конуса (См. рис.192).

Доказательство. Для доказательства рассмотрим прямой круговой конус, который в прямоугольной системе координат описывается уравнением:

(6)

и геометрически получается при вращении вокруг оси прямой , принадлежащей координатной плос-кости . В силу круговой симметрии поверхности (6) можно ограничиться только сечениями при помо-щи плоскостей, перпендикулярных координатной пло-скости . Таким плоскостям соответствуют уравнения , .

Если , то секущая плоскость описывается уравнением , где и параллельна координатной плоскости . Подставив значение абсциссы в уравнение конуса (6), найдём, что сечение в плоскости описывается уравнением и при определяет собой равностороннюю гиперболу (См. рис.12.24), а при пару прямых, которые являются образующими конусам. Рис.12.24.

Пусть теперь в уравнении секущей плоскости коэффициент . Тогда плоскость можно представить уравнением , где , . В силу симметрии конуса относительно плоскости достаточно ограничиться случаем, когда .

Коническое сечение для рассматриваемой плоскости в пространстве будет описываться системой двух уравнений (7)

Чтобы получить уравнение секущей плоскости, рассмотрим прямоугольную систему координат ,

взяв в качестве координатных осей и прямые, являющиеся пересечением секущей плоскости с координатными плоскостями и (См.рис. 12.25 ).

Координаты и произвольной точки в секущей плоскости будут связаны с её координатами , и в пространстве соотношениями:

(8)

где — угол между коническим сечением, перпендикулярным координатной плоскости , и координатной плоскостью , причём , а .

Подставляя (8) в первое уравнение системы (7), т.е. в уравнение , получим уравнение конического сечения в системе координат :

. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, находим:

. (9)

При , когда секущая плоскость образует с плоскостью тот же угол, что и образующие конуса, конические сечения будут представлять собой параболы (См. рис. ) и описываться уравнением:

.

Варьируя параметр в уравнении секущей плоскости, в качестве конического сечения можно получить любую параболу.

При , уравнение (9) принимает вид:

. (10)

Здесь возможны два варианта. При , т.е. когда секущая образует с плоскостью меньший угол, чем образующие конуса, будет выполнено неравенство и поэтому уравнение (10) конического сечения будет уравнением эллипса (См. рис. 12.26).

И здесь варьируя параметры и в уравнении секущей плоскости, мы можем получить в сечении любой эллипс.

При , т.е. когда секущая плоскость образует с плоскостью больший угол, чем образующие конуса, имеем , так что коническое сечение, описываемое уравнением (10) будет являться гиперболой (См. рис. ). Варьируя параметры и можно получить в коническом сечении любую гиперболу.

Дата добавления: 2015-08-11; просмотров: 2008; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/4-77603.html

Uchebnik-free
Добавить комментарий