Нормальное уравнение прямой имеет вид

Уравнение прямой на плоскости

Нормальное уравнение прямой имеет вид

>> Лекции по высшей математике >> Аналитическая геометрия >> Уравнение прямой

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Оно называют общим уравнением. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – совпадает с осью Ох

Уравнение прямой на плоскости может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти прямую, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно, С = -1. Окончательно получим: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда прямая, проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости, записанное выше, упрощается:

если х 1 ≠ х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом .

Пример. Найти прямую, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнением с угловым коэффициентом k .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор.

Определение. Каждый ненулевой вектор ( α1 , α2 ), компоненты которого удовлетворяют условию А α1 + В α2 = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти прямую с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение.Будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда получим вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое:

х + у — 3 = 0

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или

, где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение х – у + 1 = 0. Найти его в виде прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой

Если уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 умножить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

xcosφ + ysinφ — p = 0 –

нормальное уравнение. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой линии.

уравнение в отрезках:

уравнение с угловым коэффициентом: (делим на 5)

нормальное уравнение:

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить в отрезках, например, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Найти её, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .

Решение.Искомое уравнение имеет вид: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4 < 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Пример. Какая прямая проходит через точку А(-2, -3) и начало координат.

Решение. Имеем: , где х 1 = у 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Угол между прямыми на плоскости

Определение. Если заданы две прямые y = k1 x + b1 , y = k 2x + b2 , то острый угол между ними будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k1 = k2 . Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2 .

Теорема. Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В1 у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = λА, В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то они совпадают. Координаты точки пересечения находятся как решение системы этих уравнений.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Определение. Прямая, проходящая через точку М1 (х1 , у1 ) и перпендикулярная к у = kx + b имеет вид:

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х0 , у0 ), то расстояние до Ах + Ву + С =0 определяется как

.

Доказательство. Пусть точка М 1(х 1, у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1 :

(1)

Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это линия, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой. Преобразовать первое к виду:

A(x – x 0 ) + B(y – y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в (1), находим:

Теорема доказана.

Пример. Определить угол между: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Пример. Показать, что 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Решение. Находим: k 1 = 3/5, k2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, они перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти высоту, проведенной из вершины С.

Решение. Находим сторону АВ: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Искомая высота имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b . k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Источник: https://www.mathelp.spb.ru/book1/line_on_plane.htm

Нормальное уравнение прямой

Нормальное уравнение прямой имеет вид

Рассмотрим произвольную прямую. Проведем из начала координат перпендикуляр к данной прямой. Пусть Р – основание перпендикуляра (см. рис. 3.3).

Вектор является вектором нормали к данной прямой. Если a – угол наклона вектора к оси Ох, а р – расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой, т.е.

р = ОР, то нормальное уравнение прямойимеет вид

x cos a + y sin a – p = 0. (3.9)

Рис. 3.3

Заметим, что р не может быть отрицательным, так как это расстояние от точки О до прямой.

Пусть М¢(х¢, у¢) – произвольная точка плоскости. Выражение называется отклонением точки М¢ от данной прямой.

По знаку отклонения d() можно определить взаимное расположение точек М¢ и О относительно прямой: если d() > 0, то М¢ и О лежат по разные стороны от прямой; если d() < 0, то М¢ и О лежат по одну сторону от прямой.

Укажем алгоритм приведения общего уравнения прямой (3.1) к нормальному виду (3.9): для этого надо умножить всё уравнение Ах + Ву + +С = 0 на нормирующий множитель , знак которого противоположен знаку свободного коэффициента.

Обозначим d – расстояние от точки М¢(х¢, у¢) до данной прямой. Используя нормирующий множитель, можно получить формулу для нахождения расстояния от точки М¢(х¢, у¢) до прямой, заданной общим уравнением:

(3.10)

5. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Нахождение угла между прямыми

Пусть две прямые заданы общими уравнениями: и .

Условие параллельностиэтих прямых эквивалентно условию коллинеарности (2.8) векторов нормалей к этим прямым и , т.е.

(3.11)

Условие перпендикулярности этих прямых эквивалентно равенству нулю скалярного произведения (2.11) векторов нормалей и , т.е. или

(3.12)

Угол между прямымиравен углу между нормалями к этим прямым, который определяется по формуле

(3.13)

Абсолютно аналогично обстоит дело, если прямые заданы каноническими уравнениями: .

Условие параллельности, перпендикулярности, а также угол между прямыми можно определить, используя направляющие векторы прямых и .

Условие параллельности: (3.14)

Условие перпендикулярности: (3.15)

Угол между прямыми: (3.16)

Пусть теперь прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: .

Условие параллельности прямых: (3.17)

Угол между прямыми находится по формуле: (3.18)

Условие перпендикулярности прямых: (3.19)

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку

М(1, –2) и составляющей угол в 45° с прямой у = 2х + 5.

Решение.Ясно, что такую прямую можно провести двумя способами (рис. 3.4):

Рис. 3.4

Воспользуемся формулой (3.18), причем имеем tga = 1, . Тогда . Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:

или .

Решая эти уравнения, получаем два разных значения углового коэффициента искомой прямой: или .

Воспользуемся теперь уравнением (3.8) прямой с угловым коэффициентом и проходящей через заданную точку. Получим два варианта искомой прямой:

или .

Окончательно получаем или .

Виды уравнений плоскости

Определение 3.2.Уравнение вида Ах + Ву + Сz + D = 0, где А, В, C и D – некоторые числа, называется уравнением первой степени.

Теорема 3.1. В декартовой системе координат любое уравнение первой степени определяет некоторую плоскость и, наоборот, любая плоскость в декартовой системе координат определяется уравнением первой степени.

Рассмотрим различные виды уравнений плоскости.

Общее уравнение плоскости.

Уравнение вида

Ах + Ву + Сz + D = 0 (3.20)

называется общим уравнением плоскости.

Геометрический смысл коэффициентов А, В и С в уравнении (3.20): они являются координатами вектора нормали n к этой плоскости, т.е. вектора, перпендикулярного данной плоскости.



Источник: https://infopedia.su/13x54d2.html

Нормальное (нормированное) уравнение прямой: описание, примеры, решение задач, описание нормального уравнения прямой

Нормальное уравнение прямой имеет вид

В данной статье рассмотрим нормальное уравнение прямой на заданной плоскости. Получим нормальное уравнение, покажем не примере, дадим определение нормирующего множителя и разберем приведение общего уравнения к нормальному виду. Заключительной части посвятим основному приложению нормального уравнения прямой, то есть нахождение расстояние от точки до прямой на плоскости.

Нормальное уравнение прямой – описание и пример

Рассмотрим выведение нормального уравнения.

Фиксируем на плоскости систему координат Оху, где задаем прямую с точкой, через которую она проходит с нормальным вектором прямой. Нормальному вектору прямой дадим обозначение n→. Его начало обозначено точкой O.

координатами являются cos α и cos β, углы которых расположены между вектором n→ и положительными осями Оx и Oy. Это запишется так: n→=(cos α, cos β). Прямая проходит через точку A с расстоянием равным p, где p≥0 от начальной точки O при положительном направлении вектора n→.

Если р=0, тогда A считается совпадающей с точкой координат. Отсюда имеем, что OA=p. Получаем уравнение, при помощи которого  задается прямая.

Имеем, что точка с координатами M (x, y) расположена на прямой тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора  OM→ по направлению вектора n→ равняется p, значит при выполнении условия npn→OM→=p.

OM→ является радиус-вектором точки с координатами M (x, y), значит OM→=(x, y).

Применив определение скалярного произведения векторов, получим равенство вида: n→, OM→=n→·npn→OM→=1·npn→OM→=npn→OM→=p

Тогда это же произведение будет иметь вид в координатной форме: n→, OM→=cos α·x+cos β·y

Отсюда cos α·x+cos β·y=p или cos α·x+cos β·y-p=0. Было выведено нормальное уравнение прямой.

Определение 1

Уравнение вида cos α·x+cos β·y-p=0 называется нормальным уравнением прямой или нормированным уравнением прямой. Иначе говоря, уравнение прямой в нормальном виде.

Понятно, что такое уравнение представляет собой общее уравнение прямой Ax+By+C=0, где A и B имеют значения, при которых длина вектора n→=(A, B) равна 1, а C является неотрицательным числом.

Теперь рассмотрим его геометрический смысл. Нормальное уравнение прямой вида cos α·x+cos β·y-p=0 задает в системе координат Оху на плоскости прямую с наличием нормального вектора единичной длины n→=(cos α, cos β), которая располагается на расстоянии равном p от начала координат по положительному направлению вектора n→.

Если дано уравнение прямой вида -12·x+32·y-3=0, то на плоскости задается прямая, у которой нормальный вектор  с координатами -12, 32. Удаление прямой от начала координат идет по направлению, совпадающему с направлением нормального вектора n→=-12, 32.

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду

Часто решение задач подразумевает использование нормального уравнения прямой, но само оно не дается в нормальном виде, поэтому необходимо для начала приводить к нормальному виду, после чего выполнять необходимые вычисления.

Нормальное уравнение получают из общего уравнения прямой. Когда на плоскости задается другим уравнением, то необходимо привести его к общему виду, после чего возможно приведение к нормальному. Если рассмотреть на примере, то это будет выглядеть так.

Для приведения общего уравнения прямой Ax+Bx+C=0 к нормальному  необходимо обе части умножить на нормирующий множитель,который  имеет значение ±1A2+B2. Его знак определяется при помощи противоположности знака слагаемого C. При С=0 знак выбирается произвольно.

Пример 1

Привести уравнение прямой 3x-4y-16=0 к нормальному виду.

Решение

Из общего уравнения видно, что А=3, В=-4, С=-16. Так как значение C отрицательное, необходимо брать положительный знак для формулы. Перейдем к вычислению нормирующего множителя:

1A2+B2=132+(-4)2=15

Теперь необходимо умножить обе части уравнения на одну пятую. Получим, что 15·(3x-4y-16)=0⇔35·x-45·y-165=0.

Нормальное уравнение по заданной прямой найдено.

Ответ: 35·x-45·y-165=0.

Пример 2

Получить нормальное уравнение прямой y=13x.

Решение

По условию имеем, что общее уравнение прямой 13x-y=0. Очевидно, что С=0, значит знак нормирующего множителя не имеет значения. Выбираем со знаком «+». Тогда выражение примет вид:

1A2+B2=1132+(-1)2=310

Обе части умножаем на нормированный множитель, получаем, что нормальное уравнение прямой имеет вид 110x-310y=0.

Ответ: 110x-310y=0.

Нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости

В данном пункте рассмотрим важное приложение нормального уравнения прямой – нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Расстояние от точки M0(x0, y0) до прямой  с нормальным уравнением cos α·x+cos β·y-p=0 задается буквой p. Вычисление расстояния р производится по формуле p=cos α·x0+cos β·y0-p.

Для того, чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно сделать подстановку координат этой точки в левую часть уравнения и работать с абсолютной величиной полученного значения.

С подробным выводом формулы можно ознакомиться  в статье нахождения расстояния от точки до прямой. Имеется альтернативный способ его вычисления.

Пример 3

Найти расстояния от точки с координатами M0(-2, 1) к прямой с нормальным уравнением 23x-52y-1=0.

Решение

По условию имеем, что x0=-2, y0=1, cos α=23, cos β=-53, p=1.

Применим формулу для вычисления расстояния от точки до прямой. Получим, что:

p=cos α·x0+cos β·y0-p=23·-2-53·1-1=-7+53=7+53

Ответ: 7+53.

Пример 4

Вычислить расстояние от точки с координатами M0(-2, -3) до прямой x-1-2=y+33.

Решение

Начнем решение с приведения уравнения заданной прямой к нормальному виду. Для начала необходимо привести к общему виду. Получим:

x-1-2=y+33⇔3·(x-1)=-2·(y+3)⇔3x+2y+3=0

Проведем вычисление нормирующего множителя по формуле: -1A2+B2=-132+22=-113.

Следующим действием будет умножение обоих частей уравнения 3x+2y+3=0 на нормирующий множитель.

Получаем: -313·x-213·y-313=0

Было произведено получение нормального уравнения прямой. Чтобы найти расстояние, необходимо использовать абсолютную величину и подставить в формулу для нахождения искомого значения.

Тогда p=-313·(-2)-213·(-3)-313=913=913.

Ответ: 913.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/normalnoe-normirovannoe-uravnenie-prjamoj/

Нормальное (нормированное) уравнение прямой — описание, примеры, решение задач

Нормальное уравнение прямой имеет вид
Прямая, плоскость, их уравнения

В этой статье всесторонне разобрано нормальное уравнение прямой на плоскости. Сначала получено нормальное уравнение прямой, приведен пример нормального уравнения прямой.

Далее дано определение нормирующего множителя и разобрано приведение общего уравнения прямой к нормальному виду.

В заключении на примерах показано основное приложение нормального уравнения прямой — нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости.

Uchebnik-free
Добавить комментарий