Изоморфизм линейных пространств.

Свойства изоморфных пространств

Изоморфизм линейных пространств.

Линейное пространство

1о. Определение и простейшие свойства

Пусть дано множество элементов, называемых векторами и обозначаемых латинскими буквами .

Введем на алгебраическую операцию сложения, которая каждой паре элементов ставит в соответствие третий элемент , называемый суммой и и обозначаемый , а также операцию умножения вектора на действительное число, которая и R ставится в соответствие вектор , называемый произведением вектора на скаляр и обозначаемый

Определение 1.Множество вместе с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр называется линейным (векторным) пространством над множеством действительных чисел R, если удовлетворяются следующие аксиомы:

1) ассоциативность сложения, т.е. выполняется

2) коммутативность сложения, т.е. выполняется

3) существование нулевого вектора, т.е. вектор , называемый нулевым, такой что выполняется

4) существование противоположного вектора, т.е. , называемый противоположным к a, такое что

5) умножение на R не изменяет , т.е. .

6) R .

7) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров, т.е. R .

8) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е. R .

Обозначение. R

Замечание 1.Нулевой вектор , вводимый в аксиоме 3), единственен.

Упражнение. Доказать, что нулевой вектор единственен.

Замечание 2. Противоположный вектор, вводимый в аксиоме 4) для каждого вектора , единственный и обозначается .

Упражнение. Доказать, что противоположный вектор единственен.

Замечание 3. уравнение имеет единственное решение , называемое разностью и.

Примеры.

1) Если , то R имеем R − векторное пространство, называемое нулевым.

2) (R , R − векторное пространство вещественных чисел.

3) Множество R матриц размера образует векторное пространство (RR .

4) Множество непрерывных на функций образует векторное пространство .

5) – n-мерное координатное пространство (или арифметическое пространство), элементами которого являются упорядоченные наборы из n чисел: . Операции определены следующим образом:

;

.

Упражнение.Проверить выполнение аксиом векторного пространства.

Свойствалинейного пространства.

1) R выполняется .

2) R выполняется .

3) R выполняется .

4) R выполняется .

5) .

6) .

7) .

Доказательство.

1) Так как в силу аксиомы 8) R имеем . Аналогично, R имеем .

2) В силу аксиомы 8) имеем в силу разности векторов .

3) Следует из свойства 2) при .

4) Доказывается аналогично.

5) Если и , то умножая это равенство на получаем: и . Т.о., если , то . Обратное утверждение следует из свойства 1).

6) Из .

7) Аналогично. ■

2о. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Это понятие является обобщением понятия линейной зависимости строк.

Определение 2.Линейной комбинацией векторов с коэффициентами R называется выражение вида: .

Определение 3.Вектора называются линейно зависимыми, если R, из которых хотя бы одно отлично от нуля, и линейная комбинация с этими является нулевым вектором V, т.е. .

Вектора , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми.

Другими словами, называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым элементом V лишь при условии, что

Теорема 1.

1) Для того, чтобы элементы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов был линейной комбинацией остальных.

2) Если среди один элемент нулевой, то они линейно зависимы.

3) Если часть элементов множества линейно зависима, то и все элементы линейно зависимы.

Доказательство.

1. Аналогично доказательству из §4 для строк.

2. Если и – любое, например, — линейно зависимы.

3. Если – линейно зависимы, то одновременно неравные нулю, так что и хотя бы одно из отлично от нуля — линейно зависимы. ч.т.д.

Пример. Рассмотрим линейное пространства и докажем, что n элементов из вида , ,…, линейно независимы, а добавление еще одного элемента приводит к линейно зависимой системе. Действительно, рассмотрим линейную комбинацию с . Имеем . Вектор справа равен нулю, если все , т.е. – линейно независимы.

Добавим . Тогда по теореме 1, п. 1, достаточно показать, что x – линейная комбинация . Действительно, .

3о. Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе.

Определение 5. Совокупность векторов называют базисом в , если

1. вектора – линейно независимы;

2. для найдутся . (1)

При этом равенство (1) называется разложением элемента по базису , а называются координатами относительно базиса .

Теорема 2 (о единственности разложения по базису). Любой элемент может быть единственным образом разложен по базису , т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.

Доказательство. Пусть и . Тогда . В силу линейной независимости , что и требовалось доказать.

Теорема 3 (операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторов и их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются; при умножении на , все координаты вектора умножаются на это число.

Доказательство. Пусть – базис в , , . Тогда в силу аксиом линейного пространства , . В силу единственности разложения по базису что теорема доказана.

Примеры.

1. Базис в R – любое ненулевое число.

2. . Базис образуют матрицы , , …, с одним единичным элементом.

3. – см. выше.

4о. Размерность линейного пространства.

Определение 6.Линейное пространство называется n–мерным, если

1) в нем n линейно независимых векторов;

2) векторов линейно зависимы.

Тогда n называется размерностью и обозначается .

Определение 7.Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем любое число линейно независимых векторов.

Выясним связь между понятием базиса и размерности линейного пространства.

Теорема 4. Если – линейное пространство размерности n, то линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.

Доказательство. Пусть – система n линейно независимых векторов из . Если – любой вектор из , то по определению 6, вектора – линейно зависимы, т.е.

и среди есть хотя бы одно отличное от нуля. Очевидно, что (т. к. иначе – линейно зависимы)

, т.е.

– линейная комбинация т. к. – произвольный, то –базис.

Теорема 5. Если имеет базис, состоящий из n элементов, то .

Доказательство. Пусть – базис в . Достаточно показать, что векторов линейно зависимы. Разложим их по базису:

,

,

где R.

Очевидно, что линейная зависимость векторов эквивалентна линейной зависимости строк матрицы

.

Но строки этой матрицы заведомо линейно зависимы, т. к. порядок базисного минора не превосходит n и хотя бы одна из строк не является базисной, и по теореме о базисном миноре представляет собой линейную комбинацию базисных строк (а стало быть и остальных).

Примеры.

1. R .

2. .

3. .

4. .

5о. Изоморфизм линейных пространств.

Здесь будет показано, что линейные пространства одной и той же размерности в смысле некоторых свойств, связанных с введенными операциями, не отличаются друг от друга.

Определение 8.Два произвольных линейных пространства V и над множеством действительных чисел R называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что если векторам отвечают соответственные вектора , то вектору отвечает вектор , а вектору при R отвечает вектор .

Свойства изоморфных пространств.

1. Нулевому элементу V соответствует нулевой элемент и наоборот.

Доказательство: Если .

2. Если элементам соответствуют , то линейная комбинация векторов равна нулю V, т.е. линейная комбинация с теми же коэффициентами равна нулю, т.е. .

Доказательство следует из 1.

3. Если V и изоморфны, то максимальное число линейно независимых векторов в каждом из пространств одно и тоже, т.е. два изоморфных пространства имеют одну и туже размерность.

4. Пространства разных размерностей не могут быть изоморфными.

Теорема 6. Любые два –мерных линейных пространства V и над множеством действительных чисел R изоморфны.

Доказательство.Выберем в V базис ­­­− базис Каждому элементу , поставим в соответствие элемент с теми же координатами в базисе .

Однако это соответствие взаимнооднозначно, т.к. имеет единственным образом определенные координаты , которые в свою очередь, определяют единственный элемент .

В силу равноправности V и , соответствует единственный . Легко видеть, что если в силу введенного соответствия.

Таким образом, все линейные пространства данной размерности над множеством действительных чисел R изоморфны, то есть их свойства, связанные с линейными операциями неразличимы.

6о. Преобразование координат вектора при изменении базиса векторного пространства.

Пусть в –мерном векторном пространстве даны два базиса и . Каждый из векторов разложим по базису :

, (2)

или, кратко,

. (3)

Координаты разложения векторов «нового» базиса по старому запишем в виде матрицы

,

столбцами которой являются координаты векторов в базисе . Поэтому столбцы матрицы линейно независимы и значит .

Определение 9.Матрица, –ый столбец которой состоит из координат вектора в базисе , называется матрицей перехода от базиса к базису .

Если ввести в рассмотрение матрицы–строки и , то формулы (3) можно переписать в виде

.

Так как , то , т.е. − матрица перехода от к .

Теорема 7.Пусть в задан базис . Тогда любая матрица : , является матрицей перехода от к некоторому другому базису .

Доказательство.Так как , то столбцы линейно независимы они служат координатами линейно независимых векторов, которые можно выбрать в качестве нового базиса в .

Теперь рассмотрим, как связаны координаты вектора в различных базисах. Пусть вектор имеет координаты и в базисах и соответственно, т.е.

и .

В силу , откуда в силу единственности разложения по базису имеем .

Пример.Пусть рассматриваются вектора на плоскости и пусть . Пусть новый базис получается из старого поворотом на угол против часовой стрелки. Тогда , и матрица перехода имеет вид:

.

Поэтому

.

Источник: https://poisk-ru.ru/s7222t3.html

Изоморфизм линейных пространств

Изоморфизм линейных пространств.

Говорят,что между элементами двухмножеств и установлено взаимнооднозначное соответствие,если указано правило, которое каждомуэлементу сопоставляетодин и только один элемент ,при чем каждый элемент оказываетсясопоставленным одному и только одномуэлементу .Взаимно однозначное соответствие будемобозначать ,а соответствующие элементы: .

Двалинейных пространства и называются изоморфными,если между их элементами можно установитьтакое взаимно однозначное соответствие,что выполняются условия:

1)сумме векторов пространства соответствуетсумма соответствующих векторовпространства 

2)произведению числа на векторпространства соответствуетпро изведение того же числа насоответствующий вектор пространства 

Другимисловами, изоморфизм —это взаимно однозначное соответствие,сохраняющее линейные операции.

Замечания8.6

1. Приизоморфизме линейных пространств и 

– ихнулевые элементы соответствуют другдругу ;

– противоположныеэлементы соответствуют друг другу.

Этоследует из определения, если в условии2 положить или .

2. Линейнойкомбинации векторов пространства соответствуетлинейная комбинация соответствующихвекторов пространства .

3. Линейнонезависимой (линейно зависимой) системевекторов пространства соответствуетлинейно независимая (линейно зависимая)система векторов пространства .Действительно, из пунктов 1,2 следует,что равенства и равносильны.Если не все коэффициенты равнынулю, то обе системы и линейнозависимы, в противном случае, обе системылинейно независимы.

4. Любоеn-мерное линейное вещественноепространство изоморфноn-мерному арифметическому пространству ,а л -мерное комплексное пространствоизоморфно .

Этоследует из пункта 4 замечаний 8.5, гдеустановлено взаимно однозначноесоответствие междувекторами и координатными столбцами.Линейные операции с векторами вкоординатной форме показывают, что этовзаимно однозначное соответствиеявляется изоморфизмом.

5. Еслипространство изоморфнопространству ,а изоморфнопространству ,то пространства и такжеизоморфны.

Всамом деле, имея взаимно однозначныесоответствия и ,поставим в соответствие вектору такойвектор ,что .Такое «сквозное» соответствие будетвзаимно однозначным, сохраняющимлинейные операции.

Теорема8.3 об изоморфизме линейных пространств. Дваконечно мерных линейных пространства(над одним и тем же числовым полем)изоморфны тогда и только тогда, когдаони имеют одну и ту же размерность.

Действительно,если пространства изоморфны ,то базису пространства соответствуетлинейно независимая системавекторов пространства (см.пункт 3 замечаний 8.6), которую в случаенеобходимости можно дополнить до базисапространства (см.теорему 8.2). Следовательно, .Аналогично получаем противоположноенеравенство .Таким образом, (необходимостьдоказана).

Достаточность следует изпунктов 4,5 замечаний 8.6. Действительно,пусть пространства и определенынад полем и .Тогда, выбрав любые базисы впространствах и ,установим изоморфизмы и ,если и —вещественные пространства. Еслипространства и определенынад полем комплексныхчисел, то и .В обоих случаях, согласно пункту 5замечаний 8.6, пространства и изоморфны.

Теорема доказана.

Следствие. Изучениеконечномерных линейных пространствсводится к изучению арифметическихпространств той же размерности.

  1. Матриця переходу від старого базису до нового базису. Координатні стовпці вектора в двох базисах.

Пустьвекторы ,… , образуютбазис пространства V, а векторы  ,,… ,  -другой базис этого пространства. Каждыйвектор разлагаетсяпо базису ,… ,.Запишем эти разложения в виде системыравенств

                                 =++… +,

                               =++… +,

                                 ……………………………………..

                                =++… +                      (2)

или,кратко,

                                                   =

(суммированиепо первому индексу коэффициентов ).

Коэффициенты разложений(2) образуютматрицу T перехода отбазиса ,… , кбазису  ,,… ,.

Столбецс номером k матрицы Т состоитиз координат  базисноговектора в  базисе e.

Рассмотримматрицы e =(,… ,)и f =( ,,… ,)размерности 1×n, матричными элементамикоторых являются старые или новыебазисные векторы. Тогда соотношения(2) можно записать с помощью произведенияматрицe и T ввиде

                                       f=eT                                                   (3)     

МатрицаТ невырождена,и обратная к ней матрица являетсяматрицей перехода от нового базиса f  кстарому базису e:

                                     e=f

Рассмотримпроизвольный вектор v и его разложенияпо старому и новому базисам

                          v=,   v=                         (4)

Подставляяв правую часть второго из соотношений(4) выражения (2), а в левую часть первоеиз разложений (4) и приравнивая коэффициентыпри базисных векторах ,приходим к следующему выражению координатα через координаты β:

                                   =                                          (5)

Введемматрицу α размерностиn×1, матричными элементами которойявляются координаты вектораv в старом базисе

ианалогичную матрицу координат β.Тогда формула (5) может быть записана ввиде произведения матриц:

                                        α= T β      

  1. Підпростори, сума та перетин підпросторів. Теорема Грасмана.

Источник: https://studfile.net/preview/4031370/page:17/

Uchebnik-free
Добавить комментарий