Группа аффинных преобразований

§10. Перспективно-аффинные преобразования

Группа аффинных преобразований

Приведем примераффинного преобразования, которое неявляется подобием.

Оп р е д е л е н и е. Перспективно-аффиннымпреобразованиемили родствомназывается нетождественное аффинноепреобразование, имеющее по крайней мередве неподвижные точки.

Пустьинеподвижные точки родства. Реперпри родстве перейдет в репер.,причем(почему?). Пустьимеетв реперекоординаты.Тогда учитывая, что точкапереходитв точку,точкапереходит в,точкапереходит в,из формул аффинного преобразованияполучаем:

.

Тогдаформулы родства принимают вид:

(*)

Изэтих формул получаем свойствародства:

  1. Любая точка прямой, проходящей через неподвижные точки родства, является неподвижной точкой. Эта прямая неподвижных точек называется осью родства. Из следствия теоремы о задании аффинного преобразования парой соответствующих аффинных реперов, получаем, что все неподвижные точки родства лежат на его оси.

  2. Прямые, соединяющие соответствующие точки родства, не лежащие на его оси, параллельны или совпадают. Действительно, если точка перешла в точку, то учитывая формулы (*), получим. То есть прямая, соединяющая соответствующие точки родства, параллельна вектору.

Еслипрямые, соединяющие соответствующиеточки родства, не параллельны осиродства, то оно называется косым сжатиемплоскости.

Еслипрямые, соединяющие соответствующиеточки родства, параллельны оси родства,то оно называется сдвигомплоскости.

  1. Если прямая пересекает ось родства, то её образ проходит через эту точку пересечения; если прямая параллельна оси родства, то её образ тоже параллелен оси родства.

У п р аж н е н и е. Постройте образ произвольнойточки плоскости при родстве, заданномосью и парой соответствующих точек.

§11. Группа аффинных преобразований, её подгруппы. Эрлангенская программа ф. Клейна

МножествоА всех аффинных преобразований плоскостиявляется группой относительно композициипреобразований. Основным инвариантомэтой группы является простое отношениетрех точек прямой.

Фигурыиназываютсяаффинно-эквивалентными,если они эквивалентны относительногруппы аффинных преобразований. Примерамиаффинно-эквивалентных фигур являютсялюбые два треугольника, любые дваэллипса, две гиперболы, две параболы.

Примерамиподгрупп группы А аффинных преобразованийявляются:

  • –множество всех аффинных преобразований первого рода. К инвариантам группы А добавляется еще один инвариант – ориентация плоскости.
  • Р – группа подобий. К инвариантам группы А добавляется инвариант – величина угла.
  • –группа движений. К инвариантам группы подобий добавляется инвариант – расстояние.
  • –группа движений первого рода. К инвариантам группы движений добавляется инвариант – ориентация плоскости.

Приведитеещё примеры подгрупп группы А и отметьтеизменения в числе инвариантов.

Можнозаметить, что чем уже группа, тем ширесписок инвариантов.

XIXвек явился периодом бурного развитиягеометрических учений. Еще в началеэтого столетия было распространеноглубокое убеждение в уникальностиевклидовой геометрии, так что выражение«геометрия» полностью отождествлялосьс понятием «евклидова геометрия».

Однакок рубежу 20-х, 30-х годов появляются первыеработы Н.И. Лобачевского, Я. Бойяи,посвященные гиперболической геометрии.

В конце 60-х годов была опубликованазамечательная речь Римана, постулирующаяравноправность трех «геометрий постояннойкривизны»: евклидовой, гиперболическойи эллиптической.

Бурноеразвитие геометрии поставило на повесткудня вопрос об общем описании всехрассматриваемых математиками«геометрических систем».

В1872 году 23-летний Феликс Клейн, вступаяв должность профессора кафедры математикиЭрлангенского университета, прочелоткрытую лекцию на тему «Сравнительноеобозрение новейших геометрическихисследований».

Лекция Клейна за ясностьпозиции автора и открываемые широкиегоризонты дальнейшего прогрессагеометрии почти сразу получила в научноммире почетное звание «Эрлангенскаяпрограмма».

Идея Клейна состоит в следующем:

Каждойгруппе преобразований соответствуетсвоя геометрия – теория, которая изучаетсвойства фигур, сохраняющиеся при всехпреобразованиях данной группы.

Такимобразом, имеем многообразие геометрий:аффинная геометрия, соответствующаягруппе аффинных преобразований, геометриядвижений, геометрия подобий и т. д.

Источник: https://studfile.net/preview/3536804/page:9/

Аффинные преобразования и их свойства. Группа аффинных преобразований

Группа аффинных преобразований

Описание: Преобразование плоскости называется аффинным, если оно переводит коллинеарные точки в коллинеарные и сохраняет простое отношение точек.

Дата добавления: 2015-02-09

Размер файла: 101.41 KB

Работу скачали: 45 чел.

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Лекция 16. Аффинные преобразования и их свойства. Группа аффинных преобразований.

Литература. [1] § 48.

Определение 1. Преобразование плоскости называется аффинным, если оно переводит коллинеарные точки в коллинеарные и сохраняет простое отношение точек.

Таким образом, преобразование f в том и только в том случае аффинное, когда для любых трех коллинеарных точек А, В и С  выполнено:

а) точки  лежат на одной прямой;

б) .

Из утверждений, доказанных в предыдущих параграфах, следует, что движения и подобия плоскости u001e аффинные преобразования.

Рассмотрим свойства аффинных преобразований.

Свойство 1. При аффинном преобразовании точки, не лежащие на одной прямой, преобразуются в точки, не лежащие на одной прямой.

Доказательство. Предположим, что неколлинеарные точки А, В и С при аффинном преобразовании f перешли в точки , которые принадлежат одной прямой l' (рис. 155).  Рассмотрим произвольную точку M плоскости.

Так как A, В и С расположены в вершинах треугольника, то существует прямая, проходящая через M и пересекающая две его стороны. Пусть она пересекает сторону AB в точке P, a сторону BC в Q. Обозначим через P' и Q' образы этих точек при преобразовании .

Точки А, В и P лежат на одной прямой, поэтому A, B и P также расположены на одной прямой. Так как , то . Аналогично доказывается, что точка Q также принадлежит прямой l. С другой стороны, точка M расположена на прямой РQ. Следовательно, точка  лежит на прямой PQ, т.е. .

Мы показали, что образ любой точки плоскости принадлежит прямой l, поэтому отображение f не является преобразованием, так как оно не сюръективно. Предположение о коллинеарности точек A, В и С привело к противоречию. Свойство доказано.

 Свойство 2. При аффинном преобразовании аффинный репер отображается в аффинный репер.

Доказательство этого предложения непосредственно вытекает из свойства 1.

 Свойство 3. При аффинном преобразовании образом прямой линии является прямая линия.

Доказательство. Пусть дано аффинное преобразование f. Рассмотрим произвольную прямую l, A и В u001e её две точки. Обозначим через A и B их образы при данном преобразовании: , a через l u001e прямую АВ. Докажем, что . Рассмотрим произвольную точку С прямой l. Как следует из определения аффинного преобразования, точка  принадлежит l.

Поэтому . Проверим, что прообраз любой точки прямой l лежит на l. Выберем на l произвольную точку M (рис. 156). Пусть  u001e простое отношение . На прямой l существует единственная точка M, для которой . В силу  свойств аффинного преобразования, образ  лежит на прямой AB, которая совпадает с l, и . Поэтому . Утверждение доказано.

Свойство 4. При аффинном преобразовании параллельные прямые преобразуются в параллельные прямые.

 Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые m и n. Обозначим через m и n их образы при аффинном преобразовании f. Предположим, что m и n пересекаются в точке Р. Тогда прообраз P этой точки принадлежит как прямой m, так и прямой n. Таким образом, m и n пересекаются в точке P, что противоречит условию. Свойство доказано.

 Свойство 5. При аффинном преобразовании отрезок переходит в отрезок, луч в луч, угол в угол.

 Доказательство. Пусть f — аффинное преобразование. Рассмотрим отрезок АВ. Пусть . Точка С тогда и только тогда принадлежит этому отрезку, когда . Если , то из определения аффинного преобразования следует, что C принадлежит прямой AB и .Следовательно, . Поэтому точка C лежит на отрезке AB и .

Обратно. Пусть M u001e точка отрезка AB, a M — её прообраз. Согласно свойству 3 точка M лежит на прямой АВ. Кроме того, . Поэтому точка M лежит на отрезке АВ. Таким образом, .

Аналогично показывается, что образом луча при аффинном преобразовании служит луч. Доказательство проведите самостоятельно. Два луча, имеющие общее начало и не лежащие на одной  прямой, образуют угол.  Из доказанных свойств вытекает, что угол при аффинном преобразовании переходит в угол. Свойство доказано.

Проверим групповое свойство аффинных преобразований.

 Теорема 1. Множество аффинных преобразований плоскости образует группу.

 Доказательство. Необходимо проверить, что произведение аффинных преобразований плоскости и обратное к аффинному преобразованию являются также аффинными преобразованиями.

Пусть f и g — аффинные преобразования, А, В и С — коллинеарные точки. Тогда точки  также лежат на одной прямой. Отсюда следует, что точки  u001e коллинеарные. Мы проверили, что произведение аффинных преобразований сохраняет коллинеарность точек. В силу того, что и f и g не меняют простого отношения точек, получим: . Отсюда следует, что преобразование сохраняет простое отношение точек.

Пусть f u001e произвольное аффинное преобразование, A, В и С u001e коллинеарные точки. Обозначим их прообразы через: ,  и . Предположим, что точки  не лежат на одной прямой. Но .

Отсюда и из свойства 1 следует, что точки A, В и С также не коллинеарные. Мы получили противоречие, которое доказывает коллинеарность точек A, Ви С. Рассмотрим их простое отношение. Из определения аффинного преобразования следует, что . Поэтому .

Обратное преобразование  также является аффинным. Теорема доказана.

Как ранее отмечалось, движения и подобия являются частными случаями аффинных преобразований. Очевидно следующее утверждение.  

Следствие. Движения и подобия составляют подгруппы в группе аффинных преобразований.

Группа аффинных преобразований, как будет вытекать из следующего утверждения, гораздо шире группы подобий. Она содержит подгруппы, отличные от подобий.

Докажем основную теорему аффинных преобразований.

 Теорема 2. Пусть даны два аффинных репера  и Существует единственное  аффинное преобразование, переводящее репер Rв R.

 Доказательство. Установим существование такого преобразования. Пусть M — произвольная точка плоскости. Обозначим её координаты относительно репера R через x и y: . Поставим ей в соответствие точку , координаты которой относительно Rтакже равны x и y: . Очевидно, что такое соответствие задает преобразование f плоскости.

Рассмотрим коллинеарные точки A, В и C, координаты которых относительно репера R равны: . Пусть . Тогда . Эти векторы в репере R имеют следующие координаты: , . Поэтому они пропорциональны с коэффициентом . Пусть . Тогда их координаты относительно репера R равны: . Тогда:  . Но полученные пары чисел являются пропорциональными с тем же коэффициентом . Следовательно, .

Таким образом, точки  лежат на одной прямой и . Мы доказали, что f u001e аффинное преобразование.

Проверим единственность. Пусть существуют два аффинных преобразования gи g, удовлетворяющих условию:

  (34.1)

Рассмотрим произвольную точку M плоскости и проведем через неё прямую, пересекающую прямые  и  соответственно в точках P и Q (рис. 157). Преобразования gи g- аффинные. В силу равенств (34.1) точки и принадлежат прямой  (см. рис 157). Обозначим  через . Тогда  = = . Так как на прямой  существует единственная точка, удовлетворяющая полученным равенствам, то

= = Р. Аналогично доказывается, что  Обозначим простое отношение (PQ,M) через . Точки и лежат на прямой PQ, поэтому:  =  =       = . Таким образом, как точка , так и точка делят отрезок PQ в одном и том же отношении . Следовательно, для произвольной точки M выполнено: =. Преобразования gи g совпадают друг с другом. Теорема доказана.

Следствие 1. Если аффинное преобразование g отображает  репер  в репер , то каждой точке M с координатами x и у относительно репера  ставится в соответствие точка g(M) с теми же координатами относительно репера .

Действительно, при доказательстве теоремы 2 мы построили преобразование f,  удовлетворяющее указанному свойству. В силу условия единственности f = g.

 Следствие 2. Если аффинное преобразование f имеет три неподвижные точки, не принадлежащие одной прямой, то оно совпадает с тождественным преобразованием.

В самом деле, если A, В и С — инвариантные точки аффинного преобразования f, не лежащие на одной прямой, то они образуют некоторый репер R. Поэтому . С другой стороны, если e тождественное преобразование, то . Поэтому f = e.

Теорема 2 позволяет определить любое аффинное преобразование плоскости. Для этого достаточно задать два соответствующих друг другу аффинных репера.

 Теорема 3 (основное свойство аффинных преобразований). Даны реперы Rи R, и — их образы при некотором аффинном преобразовании f. Тогда ориентации реперов  и  совпадают в том и только в том случае, когда совпадают ориентации R и .

Доказательство этой теоремы дословно совпадает с доказательством соответствующего утверждения параграфа 30. Поэтому мы его опускаем. Теорема 3 обосновывает  корректность следующего определения.

 Определение 2. Аффинное преобразование f называется аффинным преобразованием первого рода, если ориентация любого репера R совпадает  с ориентацией его образа, репера R' = f(R). Оно называется аффинным преобразованием второго рода, если ориентации R и R' различны.

Выведем формулы аффинного преобразования. Пусть такое преобразование f переводит репер  в репер . Известны координаты точки  в репере  и векторов  и  в базисе :  . В параграфе 9 нами были получены формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой.

Если точка P имеет координаты  относительно репера  и  относительно репера , то числа (i = 1, 2), a и b связаны между собой равенствами:  При этом матрица  является невырожденной, а её определитель больше нуля,  в том случае, когда ориентации реперов  и одинаковые и меньше нуля, если их ориентации различны.

Выберем произвольную точку M плоскости и обозначим через M её образ при преобразовании . Пусть координаты точки M относительно репера  равны , а её образ M' имеет в  координаты: . Тогда из следствия теоремы 2 вытекает, что координаты точки M относительно репера  равны: .

Применим формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой к точке М. При этом в указанных формулах uи u следует заменить на x и y, а v и v u001e на x и y:

                                               (34.2)

где

 =   0.                                                (34.3)

Здесь  > 0, если f — аффинное преобразование первого рода и  < 0, если f имеет второй род. Соотношения (34.2) служат аналитическими выражениями аффинного преобразования. Легко видеть, что аналитические выражения движений и подобий представляют собой частные случаи формул (34.2).

Источник: http://refleader.ru/yfsrnayfsyfs.html

Группа аффинных преобразований

Группа аффинных преобразований

Определœение 1: преобразование плоскости принято называть аффинным, в случае если оно обладает следующими свойствами:

1) Любую прямую отображает на прямую;

2) Сохраняет отношение, в котором точка делит отрезок.

, , ⇒λ=λ/.

Замечания:

1) Аффинное преобразование можно определить и как преобразование, отображающее прямую на прямую. При этом второе свойство должна быть доказано в качестве теоремы, однако это доказательство довольно сложное;

2) Из второго свойства следует, что аффинное преобразование сохраняет отношение ʼʼлежать междуʼʼ, и, значит, отображает отрезок на отрезок, луч на луч, аффинную систему координат на аффинную систему координат.

Определœение 2: аффинное преобразование принято называть перспективно-аффинным или родственным, в случае если оно имеет прямую неподвижных (двойных) точек – ось родства.

Аффинное преобразование принято называть аффинным преобразованием 1-го рода, в случае если оно сохраняет ориентацию плоскости, и аффинным преобразованием 2-го рода, в случае если изменяет ее на противоположную.

Пример 1: любое подобие, в частности движение, является аффинным преобразованием. Осевая симметрия дает пример родственного преобразования плоскости.

Замечание 3: перспективно- аффинное преобразование плоскости обладает следующими свойствами:

1°. Любая точка прямой, проходящей через две неподвижные точки родственного преобразования, является неподвижной точкой;

2°. Прямые, соединяющие соответственные точки родственного преобразования, не лежащие на его оси, параллельны или совпадают.

(f: M M/, N N/)⇒(MM/║NN/).

3°. В случае если прямая пересекает ось родства в некоторой точка, то ее образ проходит через эту точку; если же прямая параллельна оси родства, то ее образ также параллелœен оси родства.

f: ll/⇒ ll/=L0 p;

f: m║p, m m/⇒ m/║p.

следует заметить, что в отличии от осœевой симметрии, отрезки, соединяющие соответственные точки родственного преобразования плоскости, не обязательно перпендикулярны оси родства и могут не делится этой осью пополам:

ММ/ р, ММ0 М0М/ (см. рис. 1).

Примет 2: даны ось родства, точка А, не лежащая на оси р, и ее образ А/. построим образ М/ произвольной точки М.

Решение.

a) Пусть АМ∦р и М АА/.

1) Строим точку А0=АМ∩р;

2) Строим прямую m:

M m, m║AA/;

3) Строим точку М/=m∩А0А/.

b) Пусть АМ║р и М/=АА/∩l/, где l/=f(АМ)║р и А/ l/.

c) Пусть М АА/. В этом случае следует взять вспомогательную точку N AA/, построить ее образ N/, и затем, пользуясь точками N и N/, вышеуказанным способом построить образ точки М.

Построение:

1) N AA/;

2) ∩p=A0;

3) A0A/;

4) l║AA/, N l;

5) N/=l∩A0A/ — образ точки N;

6) B0=MN;

7) M/=B0N/∩AA/ — образ точки М.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, родственное преобразование плоскости задается осью родства и парой соответствующих (родственных) точек.

Теорема 1: множество всœех аффинных преобразований плоскости является группой относительно композиции.

Доказательство.

1) Пусть f1 и f2 – произвольное аффинное (не обязательно родственное) преобразования плоскости. Οʜᴎ отображают прямую на прямую и сохраняют отношение, в котором точка делит отрезок. Но тогда и их композиция f= ff1 обладает теми же свойствами, то есть также является аффинным преобразованием.

2) Преобразование f-1 отображает прямую на прямую и сохраняет отношение, в котором точка делит отрезок, то есть является аффинным преобразованием.

Согласно определœению группы преобразований множество всœех аффинных преобразования плоскости является группой относительно композиции.

Теорема доказана.

Пример 3: подгруппами группы всœех аффинных преобразований плоскости являются:

1) Группа подобий и всœе ее подгруппы;

2) Группа всœех аффинных преобразований 1-го рода;

3) Группа, состоящая из двух преобразований родства с данной осью и тождественного преобразования плоскости.

Определœение 3: фигура F принято называть аффинно-эквивалентной фигуре F/, в случае если существует аффинное преобразование плоскости f, отображающее фигуры F на фигуру F/.

Замечания:

4) Аффинная эквивалентность фигур является отношением эквивалентности. Это доказывается также, как и для равенства или подобия фигур:

5) Можно доказать, что любые два треугольника аффинно-эквивалентны, при этом существует одно и только одно аффинное преобразование, отображающее один треугольник на другой.

То есть задание двух соответственных треугольников определяет аффинное преобразование плоскости.

Аналогично, задание любых двух соответственных аффинных систем координат вполне определяет аффинное преобразование плоскости.

Теорема 2: аффинное преобразование сохраняет параллельность прямых.

Дано: a║b.

Доказать: a/║b/, где а/=f(a), b/=f(b), f – произвольное аффинное преобразование.

Доказательство.

Предположим противное, то есть, что a/∩b/=M/ — прямые a/ и b/ пересекаются в некоторой точке M/. Тогда, в случае если М – прообраз М/ при аффинном преобразовании f, то должно быть a∩b=M. Получаем противоречие с условием (a║b) и доказываем теорему.

Следствие 1: любые два параллелограмма аффинно-эквивалентны.

Следствие 2: аффинное преобразование сохраняет отношение длин параллельных отрезков:

, где =f(ABCDE).

Замечание 6: если длина отрезков, величины углов, отношения длин параллельных отрезков могут измениться. К примеру, образом данного квадрата может оказаться произвольный параллелограмм, но не должна быть трапецией.

Теорема 3: в аффинной системе координат Оху аффинное преобразование плоскости f выражается формулами.

(*)

Где и .

Доказательство аналогично доказательству соответствующей теоремы для движений, только здесь используется формулы перехода от одной аффинной системы координат.

Замечания:

7) В формулах (*) свободные члены х0 и у0 есть координаты точки О/ — образа начала координат О при аффинном преобразовании f, то есть f(0) = O/( х0;у0); числа a1, a2 и b1, b2 – координаты соответственно векторов и в базисе ( ; ), то есть а1 +а2 , b1 +b2 ;

8) В случае если f – аффинное преобразование 1-го рода, то , в случае если второго 2-го рода, то ;

9) Имеет место теорема, обратная теореме 3.

Теорема 4: если преобразование f плоскости в некоторой аффинной системе координат задано формулами (*), то f – аффинное преобразование. В случае ( ) оно аффинным преобразованием 1-го рода (2-го) рода.

Группа аффинных преобразований. — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Группа аффинных преобразований.» 2017, 2018.

  • — Группа аффинных преобразований и её подгруппы. Предмет аффинной геометрии

    1°. Понятие группы было рассмотрено в курсе алгебры. Пусть имеется некоторое непустое множество преобразований. Из определения группы следует, что является группой относительно композиций преобразований, то есть их последовательного выполнения, если выполняются… [читать подробнее].

  • Источник: http://referatwork.ru/category/matematika/view/587370_gruppa_affinnyh_preobrazovaniy

    Аффинные преобразования плоскости и их свойства. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Применение аффинных преобразований к решению задач

    Группа аффинных преобразований

    Отображение плоскости P в плоскость R — закон или правило, по которому каждой точке плоскости P сопоставлена некоторая определенная точка на плоскости R. Обозначается f: P→R.

    Если нужно указать, что точке А на плоскости Р соответствует точка В на плоскости R, то напишем B=f(A), в этом случае В — образ точки А, точка А — прообраз точки В. Совсем не обязательно каждая точка плоскости R является образом какой-либо точки.

    Если для некоторого отображения плоскости P и R совпадают, то такое отображение называется преобразованием плоскости.

    Отображение f: P→R называется взаимно однозначным, если каждая точка плоскости R имеет прообраз, и притом только один.

    При выбранных системах координат на плоскостях P и R отображение сопоставляет паре чисел (x,y) пару чисел (x',y'). Задать отображение при выбранных СК — всё равно что задать 2 функции, каждая из которых зависит от 2-х независимых переменных: x΄=φ(x,y), y΄=ψ(x,y).

    Преобразование f плоскости Р называетсялинейным, если на Р существует такая декартова система координат, в которой f может быть записано формулами: x΄=a1x+b1y+c1, y΄=a2x+b2y+c2. Взаимно однозначное линейное преобразование называется аффинным.

    Для того, чтобы преобразование, задаваемое формулами x΄=a1x+b1y+c1, y΄=a2x+b2y+c2, было взаимно однозначным, необходимо и достаточно, чтобы . Таким образом, аффинное преобразование определяется формулами x΄=a1x+b1y+c1, y΄=a2x+b2y+c2 при условии .

    Геометрические свойства аффинных преобразований:

    Рассмотрим на плоскости прямую с уравнением и найдем её образ при преобразовании f. (Образ прямой — множество образов её точек). Радиус-вектор образа М' произвольной точки М можно вычислить так: = , где — постоянный вектор , а — радиус-вектор точки М.

    По свойствам линейных преобразований получаем . Так как f – аффинное преобразование, и то перейдет в вектор и уравнение является уравнением прямой линии. Итак, образы всех точек прямой лежат на прямой.

    F определяет взаимно однозначное отображение одной прямой на другую.

    1.При аффинном преобразовании прямая линия переходит в прямую линию, отрезок переходит в отрезок, параллельные прямые переходят в параллельные.

    2.При аффинном преобразовании отношение длин параллельных отрезков не изменяется.

    Док-во: пусть отрезки АВ и CD параллельны. Это значит, что существует такое число λ, что . Образы векторов и связаны той же зависимостью . Отсюда следует, что .

    Следствие. Если точка С делит отрезок АB в некотором отношении λ, то её образ C' делит образ A'B' отрезка АВ в том же отношении λ.

    Свойства аффинного преобразования:

    1.Образом параллельных прямых являются параллельные прямые

    2. При аффинном преобразовании сохраняется отношение двух отрезков, расположенных на одной прямой AB/CD=A΄B΄/C΄D΄

    3. При аффинном преобразовании сохраняется отношение параллельных отрезков

    4.При аффинном преобразовании угол и отношение произвольных отрезков не сохраняются, так как любой треугольник можно перевести в любой другой. Поэтому высота и биссектриса треугольника преобразуются обычно в другие линии, медиана же переходит в медиану, так как середина отрезка переходит в середину.

    5. При аффинном преобразовании параллелограмм переходит в параллелограмм, трапеция в трапецию.

    Группа аффинных преобразований.

    Теорема: Множество аффинных преобразований плоскости образуют группу.

    Док-во: Пусть задано множество аффинных преобразований A={f1, f2,…fn} и композиция двух аффинных преобразований . , f – аффинное.

    Композиция двух аффинных преобразований есть аффинное преобразование, т.е. операция замкнута на множестве А.

    а) eA — нейтральный элемент. ;

    б) преобразование, обратное к аффинному также есть аффинное преобразование.

    в)

    г) группа не является коммутативной т.к. есть примеры того, что два аффинных преобразования дают не коммутативную композицию. Например:

    Предыдущая12131415161718192021222324252627Следующая

    Дата добавления: 2015-07-30; просмотров: 4376; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

    ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

    Источник: https://helpiks.org/4-38443.html

    Uchebnik-free
    Добавить комментарий