Геометрический смысл коэффициентов A и B в уравнении прямой Ax + By + C = 0 есть

Общее уравнение прямой — теория, примеры, решение задач

Геометрический смысл коэффициентов A и B в уравнении прямой Ax + By + C = 0 есть
Прямая, плоскость, их уравнения

Эта статья является частью темы уравнение прямой на плоскости.

Здесь мы разберем общее уравнение прямой со всех сторон: начнем с доказательства теоремы, которая задает вид общего уравнения прямой, далее рассмотрим неполное общее уравнение прямой, приведем примеры неполных уравнений прямой с графическими иллюстрациями, в заключении остановимся на переходе от общего уравнения прямой к другим видам уравнения этой прямой и приведем подробные решения характерных задач на составление общего уравнения прямой.

Общее уравнение прямой — основные сведения

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оxy.

Всякое уравнение первой степени вида , где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением вида при некотором наборе значений A, B и C.

Как видите, теорема состоит из двух частей. Докажем сначала, что уравнение вида задает прямую на плоскости.

Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению , то есть, . Вычтем из левой и правой частей уравнения соответственно левую и правую части равенства , при этом получаем уравнение вида , которое эквивалентно .

Уравнение представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов и . То есть, множество всех точек определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, перпендикулярную направлению вектора . Если бы это было не так, то векторы и не были бы перпендикулярными и равенство не выполнялось бы.

Таким образом, уравнение задает прямую линию в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости, следовательно, эквивалентное ему уравнение вида задает эту же прямую. На этом первая часть теоремы доказана.

Теперь докажем, что всякая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости определяется уравнением первой степени вида .

Пусть в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задана прямая a, проходящая через точку , — нормальный вектор прямой a, и пусть — плавающая точка этой прямой. Тогда векторы и перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть, . Полученное равенство можно переписать в виде . Если принять , то получим уравнение , которое соответствует прямой a.

На этом доказательство теоремы завершено.

Уравнение вида есть общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy.

Из доказанной теоремы следует, что в фиксированной прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости прямая линия и ее общее уравнение прямой неразделимы. Иными словами, заданной прямой соответствует ее общее уравнение прямой, а этому общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также видно, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются соответствующими координатами нормального вектора прямой, заданной общим уравнением прямой вида .

Приведем пример общего уравнения прямой.

Уравнению соответствует прямая линия в заданной прямоугольной декартовой системе координат Oxy. Ее изображение представлено на чертеже. Нормальным вектором этой прямой линии является вектор .

С другой стороны, прямая линия, изображенная на рисунке, в прямоугольной системе координат Oxy задается общим уравнением прямой вида , так как координаты любой точки этой прямой удовлетворяют записанному уравнению.

Следует заметить, что уравнение вида , полученное из общего уравнения прямой умножением его обеих частей на отличное от нуля число , эквивалентно уравнению , следовательно, определяет ту же самую прямую на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат.

К началу страницы

Общее уравнение прямой называется полным, если все числа А, В и С отличны от нуля, в противном случае общее уравнение прямой называется неполным.

Рассмотрим все возможные варианты неполного общего уравнения прямой.

При общее уравнение прямой примет вид By+C=0. Это неполное общее уравнение прямой определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую параллельную оси Ох, так как при любых действительных значениях переменной х переменная y принимает одно и то же значение . Другими словами, общее уравнение прямой при определяет геометрическое место точек , ординаты которых равны одному и тому же числу .

При общее уравнение прямой примет вид y=0. Это общее неполное уравнение прямой определяет ось абсцисс Ox.

Аналогично, при имеем неполное общее уравнение прямой вида Ax+C=0. Это уравнение прямой параллельной оси ординат.

При имеем неполное общее уравнение прямой вида x=0 — уравнение координатной прямой Oy.

Если , то общее уравнение прямой примет вид . Это неполное общее уравнение прямой задает прямую, проходящую через начало координат. Действительно, пара чисел удовлетворяет равенству , так как .

Ниже приведена графическая иллюстрация всех видов общего неполного уравнения прямой.

Рассмотрим решения нескольких примеров, связанных с общим неполным уравнением прямой.

Напишите общее уравнение прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку .

Прямую, которая параллельна оси Oy, задает неполное общее уравнение прямой вида Ax+C=0, где . Так как по условию прямая проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой Ax+C=0, то есть, справедливо равенство .

Из полученного равенства мы можем вычислить С, если придадим А любое ненулевое действительное значение. Пусть , тогда .

Теперь подставляем и С=-2 в уравнение Ax+C=0 и получаем искомое уравнение прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку — оно имеет вид .

Напишите уравнение прямой, изображенной на чертеже

Очевидно, прямая линия, изображенная на рисунке, параллельна оси абсцисс Ox и проходит через точку .

Прямая линия, параллельная оси абсцисс задается общим неполным уравнением прямой вида By+C=0, . Определим значения В и С.

Так как прямая проходит через точку с координатами , то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой By+C=0, следовательно, справедливо равенство . Придадим В любое действительное значение, отличное от нуля. Пусть В=1, тогда из равенства имеем С=-3. При В=1 и С=-3 уравнение By+C=0 примет вид y-3=0.

К началу страницы

Получим вид общего уравнения прямой, если известно, что прямая проходит через точку .

Так как прямая проходит через точку , то ее координаты удовлетворяют общему уравнению прямой, то есть, справедливо равенство .

Отнимем левую и правую часть последнего равенства соответственно от левой и правой части общего уравнения прямой. При этом получим уравнение , эквивалентное исходному общему уравнению прямой.

Полученное уравнение представляет собой общее уравнение прямой, которая проходит через точку и имеет нормальный вектор .

Полученный результат позволяет составлять общее уравнение прямой, если известны координаты нормального вектора прямой и координаты некоторой точки этой прямой.

Составьте общее уравнение прямой, если ее нормальным вектором является вектор и точка лежит на этой прямой.

Из условия имеем . Тогда искомое общее уравнение прямой примет вид

Можно было поступить немного иначе. Покажем второй способ решения этой задач.

Общее уравнение прямой имеет вид . Так как — нормальный вектор прямой, то его координаты дают нам коэффициенты A и B в общем уравнении прямой, следовательно, .

Осталось найти значение С. Для этого используем условие о принадлежности точки этой прямой — координаты точки удовлетворяют уравнению , то есть, . Из полученного уравнения находим С=11. Таким образом, искомое общее уравнение прямой примет вид .

Дано общее уравнение прямой . Проходит ли эта прямая через точки и .

Подставим координаты точки M1 в уравнение прямой: . При этом мы получили тождество, следовательно, точка лежит на прямой.

Подставляем координаты точки М2: . Получаем неверное равенство, поэтому точка не лежит на прямой.

прямая проходит через точку М1 и не походит через точку М2.

Найдите ординату точки М0, лежащей на прямой , если ее абсцисса равна -3.

Обозначим координаты точки М0 как x0 и y0. По условию x0 = -3. Так как точка M0 лежит на прямой, заданной общим уравнением, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению. Следовательно, должно быть справедливо равенство . Из него находим y0:

— искомая ордината точки прямой.

К началу страницы

Существуют различные виды уравнения прямой на плоскости, описывающие одну и ту же линию. В зависимости от условий задачи удобно использовать тот или иной вид уравнения прямой.

Поэтому, полезно уметь переходить от уравнения прямой одного вида к уравнению прямой другого вида.

Цель этого пункта статьи заключается в приобретении навыков приведения общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой и обратно.

Начнем с приведения общего уравнения прямой к каноническому уравнению прямой вида .

Если , то переносим слагаемое в правую часть равенства с противоположным знаком . В левой части равенства выносим А за скобки . Полученное равенство можно записать как пропорцию вида .

Если , то оставляем в левой части общего уравнения прямой только слагаемое , а остальные переносим в правую часть с противоположным знаком: . Теперь выносим в правой части равенства –B за скобки и записываем полученное равенство в виде пропорции . Вот и все.

Запоминать полученные формулы не имеет смысла, проще повторять указанные действия при приведении общего уравнения прямой к каноническому виду.

Приведите уравнение прямой к каноническому виду.

Исходное неполное уравнение прямой перепишем как . Оставляем в левой части равенства только слагаемое : . В правой части равенства выносим -3 за скобки: . Осталось записать полученное равенство в виде пропорции и на этом приведение общего уравнения прямой к каноническому виду завершено.

Переход от общего уравнения прямой к параметрическим уравнениям прямой проводится в два этапа: сначала общее уравнение приводится к каноническому виду, а затем осуществляется переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям прямой.

Разберем этот алгоритм при решении примера.

Напишите параметрические уравнения прямой, которая задана общим уравнение прямой .

Сначала приведем исходное общее уравнение прямой к каноническому уравнению прямой:

Теперь принимаем левую и правую части полученного уравнения равными параметру . Имеем

Из общего уравнения прямой вида получить уравнение прямой с угловым коэффициентом возможно лишь тогда, когда . Что нужно сделать для перехода? Во-первых, в левой общего уравнения прямой оставить только слагаемое , остальные слагаемые нужно перенести в правую часть с противоположным знаком: . Во-вторых, разделить обе части полученного равенства на число B, которое отлично от нуля, . И все.

Прямую в прямоугольной системе координат Oxy задает общее уравнение прямой . Получите уравнение этой прямой с угловым коэффициентом.

Проведем необходимые действия: .

Когда прямая задана полным общим уравнением прямой, то легко получить уравнение прямой в отрезках вида . Для этого переносим число С в правую часть равенства с противоположным знаком, делим обе части полученного равенства на –С, и в заключении переносим в знаменатели коэффициенты при переменных x и y:

От общего уравнения прямой перейдите к уравнению прямой в отрезках.

Перенесем одну вторую в правую часть: . Разделим на обе части полученного равенства: . Осталось преобразовать полученное равенство к нужному виду: . Так мы произвели переход от общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках.

https://www.youtube.com/watch?v=zNq4iY9W1ls

Пример приведения общего уравнения прямой к нормальному виду смотрите в статье нормальное уравнение прямой.

Теперь переходим к обратной процедуре.

Очень просто привести к общему уравнению прямой уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом. Для этого достаточно просто собрать все слагаемые в левой части равенства:

Нормальное уравнение прямой представляет собой особый вид общего уравнения прямой.

Каноническое уравнение прямой приводится к общему уравнению прямой с помощью следующих преобразований:

От параметрических уравнений прямой следует сначала перейти к каноническому уравнению прямой, а уже потом к общему уравнению прямой .

Подробно разберем решения примеров.

Получите общее уравнение прямой, которая задана уравнением прямой в отрезках .

Нам достаточно переписать исходное уравнение в нужном виде .

Перейдите от уравнения прямой с угловым коэффициентом к общему уравнению прямой.

Для этого нам достаточно перенести слагаемые в левую часть равенства: .

Напишите общее уравнение прямой, которую определяют параметрические уравнения прямой

Перейдем от параметрических уравнений прямой к каноническому уравнению прямой:

Теперь от канонического уравнения можно перейти к общему уравнению этой прямой:

К началу страницы

В третьем пункте этой статьи мы показали, что общее уравнение прямой можно составить, если известны координаты нормального вектора прямой и координаты точки , через которую прямая проходит. Такая прямая в прямоугольной системе координат Oxy задается уравнением . Там же был рассмотрен пример составления общего уравнения прямой.

В этом разделе мы разберем решения более сложных примеров, когда сначала нужно определить координаты нормального вектора прямой.

Найдите общее уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной прямой .

Так как по условию прямые параллельны, то нормальный вектор прямой можно взять в качестве нормального вектора прямой, уравнение которой мы ищем. Имеем . Теперь у нас есть все данные, чтобы записать общее уравнение прямой:

Составьте общее уравнение прямой, если она проходит через начало координат и перпендикулярна прямой .

Направляющий вектор прямой является нормальным вектором прямой, уравнение которой мы ищем, так как по условию прямые перпендикулярны. Тогда . Из условия мы знаем, что прямая проходит через начало координат, то есть, через точку . Теперь мы можем получить искомое общее уравнение прямой:

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Некогда разбираться?

Закажите решение

К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/general_equation_of_line.html

Лекция 7

Геометрический смысл коэффициентов A и B в уравнении прямой Ax + By + C = 0 есть

Лекция №7.

Понятиеалгебраической линии. Различные способызадания прямой. Общее уравнение прямой.Геометрический смысл коэффициентов вобщем уравнении прямой. Геометрическийсмысл знака трехчлена

При изучениигеометрии на плоскости методом координатв качестве фигур чаще всего рассматриваютсялинии.

Пример:прямая, окружность.

Всякая линия всистеме координат определяется своимуравнением.

Определение7.1 .Алгебраическойлиниейназывается линия, которая в какой-либоаффинной системе координат имеетуравнение: ,где-многочлен, -переменные, а каждый одночлен в многочлене представлен: .

Определение7.2.Степеньюодночлена ,где,называется число, равное сумме и .

Определение7.3. Степеньюмногочлена называетсянаивысшая степень его членов.

Определение7.4.Степеньмногочлена называется порядкомлинии.

— прямаяпервого порядка.

— окружность второгопорядка.

Теорема 7.5.Понятиеалгебраической линии, а также её порядокне зависит от выбора аффинной системыкоординат.

Доказательство:

1) Пустьв аффинной системе координат задана алгебраическая линия уравнением или ;

2) Зададим даннуюлинию в новой системе координат и,используя формулыпреобразования:

, .

Подставимв уравнение алгебраической линии данныевыражения вместо и:

=.

Следовательно, .

3) Таким образом,степень нового многочлена равна степенистарого многочлена, и он представим ввиде:.

Различныеспособы задания прямой

Определение7.6.Ненулевойвектор, параллельный данной прямой,называется направляющимвекторомэтой прямой.

Любая прямаяимеет бесконечное множество направляющихвекторов, причем они коллинеарные.

Положениепрямой на плоскости и в пространствеопределяется однозначно, если заданы:

1. Направляющийвектор и точка, принадлежащая прямой.

2. Дверазличные точки этой прямой.

3. Дветочки, принадлежащие соответственноосям координат.

Параметрическиеуравнения прямой.

1) Пусть прямая асодержит точку и точку ,тогда вектор коллинеарен направляющему вектору .

  1. Из коллинеарности векторов следует, что: или — параметрические уравнения прямой, где параметр.

Смысл этих уравненийзаключается в том, что каково бы не былодействительное числоточкас координатами ,удовлетворяющая этим уравнениям, всегдалежит на прямой. И обратно: если точкас координатами принадлежит прямой, то всегда найдетсятакой параметр R, что можно выразить через х0,у0при помощи параметрических уравнений.

Эти параметрическиеуравнения можно записать в виде:

уравнениепрямой, заданной направляющим вектороми точкой.

Уравнениепрямой с угловым коэффициентом

Этот вид уравненияследует из способа задания прямойнаправляющим вектором.

Определение7.7.Угловымкоэффициентом прямойназывается отношение второй координатынаправляющего вектора прямой к егопервой координате ().

Угловойкоэффициент имеет простой геометрическийсмысл: если прямая задана в прямоугольнойсистеме координат ,то число позволяет определить направляющий угол,где — направляющий вектор прямой. определяеттангенс угла наклона прямой к оси Ох.

    1. Пусть прямая а содержит точку и точку . Тогда имеем, что вектор – направляющий вектор прямой а. Координаты вектора .

    2. По определению углового коэффициента имеем, что или

уравнениепрямой по точке и угловому коэффициенту.

3) Преобразовав,имеем .Обозначив ,имеем:

уравнениепрямой не параллельной оси Oу,заданной угловым коэффициентом.

Эта прямая отсекаетот оси Oyотрезок,равный

Уравнениепрямой, заданной двумя точками.

    1. Пусть на прямой а заданы две точки и , и некоторая точка .

    2. — направляющий вектор прямой а. Так как , то .

    3. Так как также является направляющим вектором прямой а и , то .

    4. Так как угловой коэффициент прямой определяется однозначно, то

или — уравнениепрямой, проходящей через две точки.

Уравнениепрямой в отрезках.

1) Пусть некотораяпрямая aотсекает наосях координат отрезки: на оси Ох-отрезокдлиной а,на оси Оу– отрезок длиной b.

2) Определимкоординаты точек пересечения прямой ас осями координат: .

3) Напишем уравнениепрямой апо двум точкам Аи В:

;

;

;

уравнениепрямой в отрезках

Общее уравнениепрямой.

В аффинной системекоординат прямая задаётся уравнениемпервой степени ,где -действительные числа, причем Аи Вне равны нулю одновременно, — текущие координаты точки прямой.

Теорема 7.8

Линия на плоскости,заданная в аффинной системе координатуравнением первой степени:является прямой. Вектор с координатами-правляющий вектор этой прямой.

Доказательство.

1) Пусть некотораялиния φзадана своим уравнением:

φ:(*).

2)Пусть принадлежит линии φ,т.е. её координаты удовлетворяютуравнению: (**).

3) Выразим изуравнения (**) и подставим это значение в равенство(*), имеем:

(***)- уравнениепрямой, заданной точкой и направляющим вектором с координатами .

4) Направляющийвектор действительно имеет координаты,т.к. уравнение (***) можно записать в видеопределителя второго порядка

— условиеколлинеарности векторов, имеющихкоординаты и

4) Значит, линия φявляется прямой.

Геометрическийсмысл коэффициентов в общем уравнениипрямой

Геометрическийсмысл коэффициентов в общем уравнениипрямой определяет ее расположение всистеме координат.

Прямая, заданнаяуравнением ,проходит через начало координат. Еенаправляющий вектор имеет координаты.

Прямая, заданнаяуравнением , параллельна оси Ох.Её направляющий вектор имеет координату.

Прямая, заданнаяуравнением , параллельна оси Оу.Её направляющий вектор имеет координату.

Прямая совпадаетс осью Ох.Направляющийвектор имеет координаты

Прямая совпадаетс осью Оу.Направляющий вектор имеет координаты

Геометрическийсмысл знака трёхчлена.

1) Пусть некотораяпрямая аразбиваетплоскость на две полуплоскости, и заданаона в аффинной системе координатуравнением

2) Рассмотрим точки:

,т.е. .

,т.е.

3) Рассмотрим . Т.к. векторы коллинеарны, то

  • Если то и лежат в одной полуплоскости относительно прямой а.
  • Если то и лежат в разных полуплоскостях относительно прямой а

4)Рассмотрим условия, определяющиерасположения векторов и в одной или различных полуплоскостях:

  • Пусть . Тогда условие коллинеарности векторов и в координатах имеет вид: или ;
  • Так как точка , то или ;
  • Т. к. >0,то положение точки относительно прямой а определяется знаком параметра .
  • Действительно: ,

Эти неравенствапозволяют определить, в одной или разныхполуплоскостях лежат точки, не принадлежащие прямой.

Источник: https://studfile.net/preview/6226432/

63. Геометрический смысл неравенства Ax + By + C ³ 0

Геометрический смысл коэффициентов A и B в уравнении прямой Ax + By + C = 0 есть

На плоскости рассматривается аффинная система координат.

Теорема 1. Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству

Ax + By + C³ 0 (1)

A2 + B2 ≠ 0, Является полуплоскостью, ограниченной прямой

A: Ax + By + C= 0 (2)

В которой лежит конец вектораN= (A,B), Отложенного от произвольной точки прямойA.

Доказательство. 1. Сначала покажем, что функция F(X,Y) = Ax + By + C принимает значения одинаковых знаков, в точках каждой из полуплоскостей, на которые прямая A разбивает плоскость.

Пусть M1(X1,Y1), M2(X2,Y2) любые две точки плоскости, не принадлежащие прямой A, и которые не лежат на прямой параллельной прямой A. Тогда прямая M1M2 пересекает прямую A в точке M(X,Y), которая делит отрезок в некотором отношении l. Координаты точки M вычисляются по формулам:

. (3)

И удовлетворяют уравнению прямой A. Тогда справедливо равенство

Отсюда находим

.

Так как точка M2 ÏA, то . Тогда

.

Точки M1 и M2 лежат по одну сторону от прямой A тогда и только тогда, когда точка M не принадлежит отрезку M1M2. Последнее верно тогда и только тогда, когда l < 0.

Следовательно, точки M1 и M2 лежат по одну сторону от прямой A тогда и только тогда, когда функция F(X,Y) принимает в точках M1 и M2 значения одного знака (см. рис 32).

Точки M1 и M2 лежат по разные стороны от прямой A тогда и только тогда, когда точка M принадлежит отрезку M1M2. Последнее верно тогда и только тогда, когда l > 0.

Следовательно, точки M1 и M2 лежат по разные стороны от прямой A тогда и только тогда, когда функция F(X,Y) принимает в точках M1 и M2 значения разных знаков (см. рис 33)..

Если точки M1(X1,Y1) и M2(X2,Y2) лежат на прямой параллельной прямой A, то они расположены также по одну строну от прямой A.

Чтобы доказать это необходимо взять еще одну точку M2(X3,Y3) в той же полуплоскости, не лежащую на прямой M1M2.

В силу доказанного функция F(X,Y) принимает в точках M1 и M3, M2 и M2 значения одного знака. Тогда и точках M1 и M2 функция принимает значения одного знака.

Таким образом, функция F(X,Y) принимает значения одного знака в каждой из полуплоскостей, на которые прямая A разбивает плоскость, и в разных полуплокостях эти знаки различны.

2. Отложим, от точки M1(X1,Y1)€ A вектор N= (A,B) и получим такую точку M2(X2,Y2), что =N= (A,B) (см. рис 21).Отсюда X2 = X1 + A, Y2 = Y1 + B. Подставим координаты точки M2 в левую часть уравнения (2) и получим

F(X2,Y2) = Ax2 + By2 + C = A(X1 + A) + B(Y1 + B) + C =

= Ax1 + By1 + C + A2 + B2.

. Так как точка M1(X1,Y1)€ A. то Ax1 + By1 + C = 0. Поэтому

F(X2,Y2) = A2 + B2 > 0.

Пример 1. Найти уравнение биссектрисы острого угла, образованного двумя A1:3X + 4Y — 5 = 0, A2:5X — 12Y + 3 = 0.

По формуле (2) § 6 находим уравнения биссектрис углов, образованных прямыми A1 и A2:

.

Получаем две биссектрисы B1 :7X -56Y + 40 = 0, B2 :8XY + 5 = 0. На биссектрисе B2 выбираем точку M1(0,5). Вычислим значения левых частей данных уравнений в точке M1: 3×0 + 4×5 — 5 = 25> 0, 5×0 — 12×5 + 3 = — 57 < 0.

Отложим от точки M1 нормальные вектора N1 = (3,4), N2 = (5,-12) данных прямых. В силу теоремы 1 вектор N1 направлен в от прямой A1, а вектор N2 направлен к прямой A2 (см. рис.15).

Тогда угол между векторами N1 и N2 равен углу между прямыми A1 и A2 . Так как NN2 =3×5-4×12= -33 < 0 , то B2 — биссектриса тупого угла.

Следовательно, искомая биссектриса B1:7X -56Y + 40 = 0.

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/algebra-i-geometriia-tolstikov-a-v/63-geometricheskii-smysl-neravenstva-ax-by-c-sup3-0

Прямая линия. Уравнение прямой

Геометрический смысл коэффициентов A и B в уравнении прямой Ax + By + C = 0 есть

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

параллельными (следует из предыдущего).

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

Прямаялиния — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0} — прямая параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных

начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

перпендикулярен прямой , заданной уравнением

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С

подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно

С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой,

проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х1 ≠ х2  и х = х1 , если х1 = х2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентомпрямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (α1, α2), компоненты которого удовлетворяют условию

Аα1 + Вα2 = 0 называется направляющим вектором прямой.

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

х + у — 3 = 0

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:

 или      , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

нормирующем множителем, то получим

xcosφ + ysinφ — p = 0 – нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,

а φ — угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений

этой прямой.

Уравнение этой прямой в отрезках:

Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

Уравнение прямой:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые,

параллельные осям или проходящие через начало координат.

Угол между прямыми на плоскости.

Определение. Если заданы две прямые y = k1 x + b1 , y = k 2x + b2 , то острый угол между этими прямыми

будет определяться как

Две прямые параллельны, если k1 = k2 . Две прямые перпендикулярны,

если k1 = -1/ k2 .

Теорема.

Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты

А1 = λА, В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых

находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.

Определение. Прямая, проходящая через точку М1 (х1 , у1 ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b

представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х0 , у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как:

Доказательство. Пусть точка М1(х1, у1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную

прямую. Тогда расстояние между точками М и М1:

    (1)

Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0 перпендикулярно

заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x0 ) + B(y – y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Источник: https://www.calc.ru/Uravneniye-Pryamoy.html

Угловой коэффициент в уравнении прямой. Геометрический смысл коэффициента

Геометрический смысл коэффициентов A и B в уравнении прямой Ax + By + C = 0 есть

Преобразуем уравнение прямой ax + by + c=0 к виду

Введем обозначения

Тогда получим y = kx + l.

Возьмем две точки на прямой A (x1; y1) и B (x2; y2), такие что x1 < x2.
Их координаты удовлетворяют уравнению прямой:

Вычитая эти равенства почленно, получим

Проведя прямую через точку A параллельно оси x и прямую через точку B параллельную оси y, мы получим треугольник ABC. Замечаем, что

Если прямая расположена следующим образом :

То

Таким образом, коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью x.
Коэффициент k в уравнении прямой называется угловым коэффициентом прямой.

5 ВОПРОС:

Угол между двумя прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности двух прямых. Углом между двумя прямыми называют угол между их направляющими векторами.

Пусть относительно ПДСК заданы две прямые своими каноническими уравнениями: l1: (x-x1)/a1=(y-y1)/b1=(z-z1)/c1, l2: (x-x2)/a2=(y-y2)/b2=(z-z2)/c2, пересекающиеся в некоторой точке M0. a1={a1, b1, c1}, a2={a2, b2, c2}. cos(a1,a2)=(a1•a2)/(|a1|•|a2|)=(a1a2+b1b2+c1c2)/(√(a12+b12+c12)•√(a22+b22+c22)).

Из данной формулы следует, что две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда a1a2+b1b2+c1c2=0.

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда a1/a2=b1/b2=c1/c2

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если прямая параллельна плоскости проекции (h | | П1), то для того чтобы определить расстояние от точки А до прямой h необходимо опустить перпендикуляр из точки А на горизонталь h.

Нажмите на картинку для просмотра… На ортогональном чертеже строим отрезок A1M1 перпендикулярно h1. Далее на прямой h1 откладываем отрезок M1M0 равный А2В2. Длину перпендикуляра АM можно найти способом прямоугольного треугольника А1M1M0: |АM| = |А1M0|.

Рассмотрим более сложный пример, когда прямая занимает общее положение. Пусть необходимо определить расстояние от точки М до прямой а общего положения.

Нажмите на картинку для просмотра… Решение задачи проводится по следующей схеме: 1. Через заданную точку M проводится плоскость s перпендикулярная заданной прямой а. Плоскость задается двумя пересекающимися прямыми, фронталью (f) и горизонталью (h): s = h f. 2. Находится точка пересечения (K) исходной прямой а с плоскостью s. 3. Определяется расстояние от точки М до точки K способом прямоугольного треугольника. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника M2K2N2 равна расстоянию от точки M до прямой а: |MK| = M2N2.

Задача на определение расстояния между параллельными прямыми решается аналогично предыдущей. На одной прямой берется точка, из нее опускается перпендикуляр на другую прямую. Длина перпендикуляра равна расстоянию между параллельными прямыми.

Гл 1 Гл 2 Гл 3 Гл 4 Гл 5 Гл 6 Гл 7Гл 8 Гл 9

6 ВОПРОС:

Свойства параболы:

1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

y² = 2px называемая каноническим уравнением параболы

7 ВОПРОС:

называемая каноническим уравнением эллипса

8 ВОПРОС:

каноническое уравнение гиперболы.

9 ВОПРОС:

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 — плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 — плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 — плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 — плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

10 ВОПРОС:

Пусть даны векторы и .
Определение. Суммой векторов и называется вектор , т.е. при сложении векторов их соответствующие координаты складываются: (2, –4) + (–2, 4) = (0, 0); (3,0,1) + (0,1,4)+(–1, –7,0) = (2, –6,5).
Определение.

Произведением вектора на число называется вектор т.е. при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.
Можно проверить, что введенные таким образом операции над векторами удовлетворяют всем свойствам операций в линейном пространстве.

Следовательно, арифметическое n-мерное пространство Rn является частным случаем введенного ранее линейного пространства.
Определение.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов:
Пример: Пусть и .
Тогда . Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. , причем , только при

2. ,
3. ,
4. .
Определение. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0, т.е. .
Пример. Пусть Тогда ортогональны.
Определение. Линейное пространство с введенным скалярным произведением называется евклидовым n-мерным пространством.
Примеры:
1. Множество трехмерных векторов R3.
2. Множество двумерных векторов R2.
3. Множество R1 = R – множество действительных чисел.

11 ВОПРОС:

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов и :

где — угол между векторами и ; если либо , то

Из определения скалярного произведения следует, что где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора .

Скалярный квадрат вектора:

Свойства скалярного произведения:

Скалярное произведение в координатах

Если то

Угол между векторами

Векторное произведение

Векторное произведение векторов и — вектор, обозначаемый или для когорого:

1) ( — угол между векторами и , );

2)

3) тройка , , — правая.

Свойства векторного произведения: если , то равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .

Норма — структура длины векторов на линейном пространстве.

Норма в векторном линейном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел есть функция , удовлетворяющая следующим условиям (аксиомы нормы):

1. , причём p(x) = 0 только при ;

2. для всех (неравенство треугольника);

3. для любого скаляра α.

Норма обычно обозначается . Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1-3) — также аксиомами нормированного пространства.

Аксиома 2 обеспечивает выпуклость шаров , аксиома 3 — кроме прочего, их центральную симметрию.

Любой ненулевой вектор (в частности функцию) конечной нормы можно нормировать, поделив его на значение его нормы (после чего он станет нормированным).

Также, нередко применяется выражение «нормированный на», подразумевающее, что норма объекта равна в этом случае не единице, а другой определенной величине.

Например, иногда говорят о нормировании на дельта-функцию, когда речь идет о нормировании базиса функций, нумерованного непрерывным параметром.

12 ВОПРОС:

МАТРИЦА [matrix] — система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной таблицы. Таблица имеет следующий вид:

Источник: https://cyberpedia.su/14xbf84.html

Uchebnik-free
Добавить комментарий