2. Случайные величины и сигналы. Числовые характеристики для равномерного закона распределения случайной величины.

Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики

2. Случайные величины и сигналы. Числовые характеристики для равномерного закона распределения случайной величины.

Определение случайной величины.Многие случайные собы­тия могут быть оценены количественно случайными величинами,

Случайной называют такую величину, которая принима­ет значения в зависимости от стечения случайных обсто­ятельств.

Случайными величинами являются: число больных на приеме у врача, число студентов в аудитории, число рождений в городе, продолжительность жизни отдельного человека, скорость моле­кулы, температура воздуха, погрешность в измерении какой-либо величины и др. Если пронумеровать шары в урне примерно так, как это делают при разыгрывании тиража лото, то произвольное вынимание шара из урны покажет число, являющееся случайной величиной.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает счетное множество значений: число букв на произ­вольной странице книги, энергия электрона в атоме, число волос на голове человека, число зерен в колосьях, число молекул в вы­деленном объеме газа и т. п.

Непрерывная случайная величина принимает любые зна­чения внутри некоторого интервала: температура тела, масса зерен в колосьях пшеницы, координата места попадания пули в цель (принимаем пулю за материальную точку) и др.

Распределение дискретной случайной величины.Диск­ретная случайная величина считается заданной, если указаны ее возможные значения и соответствующие им вероятности.

Обозна­чим дискретную случайную величину X, ее значения хг х2, …, а вероятности Р(х1) — p1, Р(х2) = р2 и т. д.

Совокупность X и Р называется распределением дискретной случайной величи­ны (табл. 1).

Таблица 1

XХ1Х2Х3Х4Х5
Рp1p2рзр4р5
(2.9)

Так как все возможные значения дискретной случайной вели­чины представляют полную систему (см. § 2.1), то сумма вероят­ностей равна единице:

Здесь предполагается, что дискретная случайная величина имеет п значений. Выражение (2.9) называется условием норми­ровки.

*Случайной величиной является число очков, выпадающих на верх­ней грани игральной кости. Указать распределение этой случайной вели­чины (табл. 2).

Таблица 2

X
Р 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

* Случайной величиной является номер вида спорта в игре «Спортло­то». Общее число видов равно 49. Указать распределение этой случайной величины (табл. 3).

Таблица 3

X
р 1/49 1/49 1/49 1/49

Биномиальное распределение.

Пусть некоторое испытание проводится трижды и при этом событие А происходит l раз (l — случайная величина, которая при тройном испытании может при­нимать значения 0, 1, 2 и 3).

Вероятность наступления события А равна Р(А); вероятность того, что событие А не происходит, т. е. имеет место противоположное событие, равна [1 — Р(А)].

Значение l = 0 соответствует такому случаю, при котором трижды подряд событие А не происходило. Вероятность этого сложного события, по теореме умножения вероятностей (2.6), равна

Р(и и ) = [1 — Р(А)] [1 — Р(А)][1 — Р(А)] = [1 — Р(А)]3.

Значение l = 1 относится к случаю, при котором событие А про­изошло в одном из трех испытаний. По формуле (2.6) получаем

Р(А и и ) = Р(А) [1 — Р(А)][1 — Р(А)] = Р(А) [1 — Р(А)]2.

Так как при l = 1 происходят также и два других сложных со­бытия: (и А и ) и (и и А), то необходимо, воспользовав­шись теоремой сложения вероятностей (2.4), получить полную ве­роятность для l = 1, сложив трижды предыдущее выражение:

Р(А и и , или и А и , или и и А) = З Р(А) [1 — Р(А)]2.

Значение l = 2 соответствует случаю, при котором событие А произошло в двух из трех испытаний. Рассуждениями, подобны­ми приведенным выше, получим полную вероятность для этого случая:

Р(и А и А, или А ии А, или А и А и ) = З Р2(А) [1 — Р(А)].

При l = 3 событие А появляется во всех трех испытаниях. Ис­пользуя теорему умножения вероятностей, находим

Р(А и А и А) = Р3(А).

В итоге получаем биномиальное распределение, содержащее четыре члена (табл. 4).

Таблица 4

l2
Р [1-Р(А)]3 З Р(А) • [1 — Р(А)]2 З Р2(А) • [1 — Р(А)]Р3(А)

В общем случае биномиальное распределение позволяет опре­делить вероятность того, что событие А произойдет l раз при п ис­пытаниях:

(2/10)

где р = Р(А); — число сочетаний из п элементов по l, равное

* На основе многолетних наблюдений вызов врача в данный дом оце­нивается вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что в течение шести дней произойдет четыре вызова врача; Р(А) = 0,5, п = 6, l = 4.

Воспользуемся формулой (2.10):

Числовые характеристики дискретной случайной величи­ны.Во многих случаях, наряду с распределением случайной ве­личины или вместо него, информацию об этих величинах могут дать числовые параметры, получившие название числовых ха­рактеристик случайной величины. Рассмотрим наиболее упот­ребительные из них.

Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины есть сумма произведений всех возможных ее значе­ний на вероятности этих значений:

(2.11)

Пусть при большом числе испытаний п дискретная случайная величина X принимает значения x1, x2, …, хп соответственно т1, т2 , …, тп раз. Среднее значение равно

Если n велико, то относительные частоты т1/п, т2/п, … будут стремиться к вероятностям, а средняя величина — к математиче­скому ожиданию. Именно поэтому математическое ожидание час­то отождествляют со средним значением.

*Найти математическое ожидание для дискретной случайной вели­чины, которая задается цифрой на грани при бросании игральной кости
(см. табл. 2).

Используем формулу (2.11):

М(Х) = 1 • 1/6 + 2 • 1/6 + 3 • 1/6 + 4 • 1/6 + 5 • 1/6 + 6 • 1/6 = 7/2 = 3,5.

* Найти математическое ожидание для дискретной случайной вели­
чины, которая определяется тиражом «Спортлото» (см. табл. 3).

Согласно формуле (2.11), находим

М(Х) = 1 • 1/49 + 2 • 1/49 + … + 49 • 1/49 = 25.

Возможные значения дискретной случайной величины рассеяны во­круг ее математического ожидания, часть из них превышает М(Х), часть — меньше М(Х).

Как оценить степень разброса случайной величины отно­сительно ее среднего значения? Может показаться, что для решения та­кой задачи следует вычислить отклонения всех случайных величин от ее математического ожидания X — М(Х), а затем найти математическое ожидание (среднее значение) этих отклонений: М[Х — М(Х)]. Без доказа­тельства отметим, что эта величина равна нулю, так как отклонения слу­чайных величин от математического ожидания имеют как положитель­ные, так и отрицательные значения. Поэтому целесообразно учитывать либо абсолютные значения отклонений М[Х — М(Х)], либо их квадраты М[Х — М(Х)]2. Второй вариант оказывается предпочтительнее, так при­ходят к понятию дисперсии случайной величины.

Дисперсией случайной величины называют математиче­ское ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = М[Х — М(Х)]2 (2.12)

Без вывода приведем удобную для вычисления дисперсии фор­мулу

D(X) = М(Х2) — [М(Х)]2. (2.13)

Она означает, что дисперсия равна разности между математи­ческим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания.

*Найти дисперсию случайной величины, которая задается цифрой на
грани при бросании игральной кости (см. табл. 2).

Математическое ожидание этого распределения равно 3,5. Запишем значения квадратов отклонения случайных величин от математического ожидания: (1 — 3,5)2 = 6,25; (2 — 3,5)2 = 2,25; (3 — 3,5)2 = 0,25; (4 — 3,5)2 = 0,25; (5 — 3,5)2 = 2,25; (6 — 3,5)2 = 6,25. По формуле (2.12) с учетом (2.11) находим дисперсию:

D(X) = 6,25 • 1/6 + 2,25 • 1/6 + 0,25 • 1/6 + 0,25 • 1/6 + + 2,25 • 1/6 + 6,25 • 1/6 = 2,9167. Вычислим дисперсию, воспользовавшись формулой (2.13):

[М(Х)]2 = 3,52 = 12,25; М(Х2) = I2 • 1/6 + 22 • 1/6 + З2 • 1/6 + 42 • 1/6 + 52 • 1/6 +

+ 62 • 1/6 = 15,1667;

D(X) = 15,1667 — 12,25 = 2,9167.

Как следует из (2.12), дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Для того чтобы оценивать рас­сеяние случайной величины в единицах той же размерности, вво­дят понятие среднего квадратического отклонения, под кото­рым понимают квадратный корень из дисперсии:

(2.14)

Распределение и характеристики непрерывной случай­ной величины.Непрерывную случайную величину нельзя за­дать тем же законом распределения, что и дискретную. В этом случае поступают следующим образом.

Пусть dP — вероятность того, что непрерывная случайная ве­личина X принимает значения между х и х + dx. Очевидно, что чем больше интервал dx, тем больше и вероятность dP: dP ¥ dx. Кроме того, вероятность должна зависеть и от самой случайной величины, вблизи которой расположен интервал, поэтому

dP = f(x)dx, (2.15)

где f(x) плотность вероятности, или функция распределе­ния вероятностей. Она показывает, как изменяется вероят­ность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, в зависи­мости от значения самой этой величины:

f(x) = dP/dx. (2.16)

Интегрируя выражение (2.15) в соответствующих пределах, находим вероятность того, что случайная величина принимает ка­кое-либо значение в интервале (ab):

(2.17)

Условие нормировки для непрерывной случайной величины имеет вид

(2.18)

Наряду с плотностью вероятности в математике используют также и функцию распределения непрерывной случайной вели­чины:

(2.19)

Как видно из (2.19), эта функция равна вероятности того, что случайная величина принимает значения, меньшие х:

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание и дисперсия записываются соответственно в виде

(2.20)

(2.21) (2.21)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/2_96156_sluchaynaya-velichina-zakon-raspredeleniya-chislovie-harakteristiki.html

Unit 6 Probability Theory

2. Случайные величины и сигналы. Числовые характеристики для равномерного закона распределения случайной величины.

Web-версия учебного курса «Теория вероятностей»

Вид функций F(x), р(х), или перечисление р(хi) называют законом распределения случайной величины. Хотя можно представить себе бесконечное разнообразие случайных величин, законов распределения гораздо меньше. Во-первых, различные случайные величины могут иметь совершенно одинаковые законы распределения.

Например: пусть y принимает всего 2 значения 1 и -1 с вероятностями 0.5; величина z = -y имеет точно такой же закон распределения.
Во-вторых, очень часто случайные величины имеют подобные законы распределения, т.е., например, р(х) для них выражается формулами одинакового вида, отличающимися только одной или несколькими постоянными.

Эти постоянные называются параметрами распределения.

Хотя в принципе возможны самые разные законы распределения, здесь будут рассмотрены несколько наиболее типичных законов. Важно обратить внимание на условия, в которых они возникают, параметры и свойства этих распределений.

  1 .   Равномерное распределение
Так называют распределение случайной величины, которая может принимать любые значения в интервале (a,b), причем вероятность попадания ее в любой отрезок внутри (a,b) пропорциональна длине отрезка и не зависит от его положения, а вероятность значений вне (a,b) равна 0.

Рис 6.1 Функция и плотность равномерного распределения

Параметры распределения: a , b

  2 .   Нормальное распределение
Распределение с плотностью, описываемой формулой

                (6.1)

называется нормальным. (Рисунок 6.2)
Параметры распределения: a , σ

Рисунок 6.2 Типичный вид плотности и функции нормального распределения

  3 .   Распределение Бернулли
Если производится серия независимых испытаний, в каждом из который событие А может появиться с одинаковой вероятностью р, то число появлений события есть случайная величина, распределенная по закону Бернулли, или по биномиальному закону (другое название распределения).

                (6.2)

Здесь n — число испытаний в серии, m — случайная величина (число появлений события А), Рn(m) — вероятность того, что А произойдет именно m раз, q = 1 — р (вероятность того, что А не появится в испытании).

Пример 1: Кость бросают 5 раз, какова вероятность того, что 6 очков выпадет дважды ?
n = 5, m = 2, p = 1/6, q = 5/6

Параметры распределения: n , р

  4 .   Распределение Пуассона
Распределение Пуассона получается как предельный случай распределения Бернулли, если устремить р к нулю, а n к бесконечности, но так, чтобы их произведение оставалось постоянным: nр = а. Формально такой предельный переход приводит к формуле

                (6.3)

Параметр распределения: a

Распределению Пуассона подчиняются очень многие случайные величины, встречающиеся в науке и практической жизни.

Пример 2: число вызовов, поступающих на станцию скорой помощи в течение часа.

Разобьем интервал времени Т (1 час) на малые интервалы dt, такие что вероятность поступления двух и более вызовов в течение dt пренебрежимо мала, а вероятность одного вызова р пропорциональна dt: р = μdt ; будем рассматривать наблюдение в течение моментов dt как независимые испытания, число таких испытаний за время Т: n = T / dt;

если предполагать, что вероятности поступления вызовов не меняются в течение часа, то полное число вызовов подчиняется закону Бернулли с параметрами: n = T / dt, р = μdt . Устремив dt к нулю, получим, что n стремится к бесконечности, а произведение n×р остается постоянным: а = n×р = μТ.

Пример 3: число молекул идеального газа в некотором фиксированном объеме V.

Разобьем объем V на малые объемы dV такие, что вероятность нахождения двух и более молекул в dV пренебрежимо мала, а вероятность нахождения одной молекулы пропорциональна dV: р = μdV; будем рассматривать наблюдение каждого объемчика dV как независимое испытание, число таких испытаний n=V/dV; если предполагать, что вероятности нахождения молекулы в любом месте внутри V одинаковы, полное число молекул в объеме V подчиняется закону Бернулли с параметрами: n = V / dV, р = μdV. Устремив dV к нулю, получим, что n стремится к бесконечности, а произведение n×р остается постоянным: а = n×р =μV.

Числовые характеристики случайных величин

  1 .   Математическое ожидание (среднее значение)

Определение:
Математическим ожиданием называется
— для дискретной случайной величины:     (6.4)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

— для непрерывной случайной величины:;    (6.5)

Интеграл должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

Свойства математического ожидания:

a .   Если С — постоянная величина, то МС = С b .   МСх = СМх

c .   Математическое ожидание суммы случайных величин всегда равно сумме их математических ожиданий: М(х+y) = Мх + Мy d .

  Вводится понятие условного математического ожидания.

Если случайная величина принимает свои значения хi с различными вероятностями p(xi/Hj) при разных условиях Hj, то условное математическое ожидание определяется

как или ;    (6.6)

Если известны вероятности событий Hj, может быть найдено полное

математическое ожидание: ;    (6.7)

Пример 4: Сколько раз в среднем надо бросать монету до первого выпадения герба ? Эту задачу можно решать «в лоб»

xi1           2          3        … k..    
p(xi) :  ,

но эту сумму еще надо вычислить. Можно поступить проще, используя понятия условного и полного математического ожидания. Рассмотрим гипотезы Н1 — герб выпал в первый же раз, Н2 — в первый раз он не выпал.

Очевидно, р(Н1) = р(Н2) = ½;   Мx / Н1 = 1;
Мx / Н2 на 1 больше искомого полного матожидания, т.к. после первого бросания монеты ситуация не изменилась, но один раз она уже брошена. Используя формулу полного математического ожидания, имеем Мх = Мx / Н1×р(Н1) + Мx / Н2×р(Н2) = 1×0.

5 + (Мх + 1)×0.5 , разрешая уравнение относительно Мх, получаем сразу Мх = 2 .

e .   Если f(x) — есть функция случайной величины х, то определено понятие математического ожидания функции случайной величины:

— для дискретной случайной величины: ;    (6.8)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся.

-для непрерывной случайной величины:;    (6.9)

Интеграл должен быть абсолютно сходящимся.

  2 .   Дисперсия случайной величины
Определение:
Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения значения величины от ее математического ожидания:   Dx = M(x-Mx)2

— для дискретной случайной величины: ;    (6.10)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

— для непрерывной случайной величины: ;    (6.11)

Интеграл должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

Свойства дисперсии: a .   Если С — постоянная величина, то DС = 0

b .   DСх = С2Dх

c .   Дисперсия суммы случайных величин всегда равно сумме их дисперсий только, если эти величины независимы (определение независимых величин)
d .   Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу:

  Dx = Mx2 — (Mx)2      (6.12)

Связь числовых характеристик
и параметров типичных распределений

распределениепараметрыформулаMxDx
равномерноеa , b(b+a) / 2(b-a)2 / 12
нормальноеa , σaσ2
Бернуллиn , pnpnpq
Пуассонаaaa

Источник: http://dfe.petrsu.ru/koi/posob/PT/theory/unit-6.html

Числовые характеристики случайных величин

2. Случайные величины и сигналы. Числовые характеристики для равномерного закона распределения случайной величины.

СЛУЧАЙНЫЕВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Случайнойназывают такую величину, котораяпринимает значения в зависимости отстечения случайных обстоятельств.Различают дискретные и случайныенепрерывныевеличины.

Дискретнойназываютвеличину, если она принимает счетноемножество значений. (Пример:числопациентов на приеме у врача, число буквна странице, число молекул в заданномобъеме).

Непрерывнойназываютвеличину, которая может приниматьзначения внутри некоторого интервала.(Пример:температура воздуха, масса тела, ростчеловека и т.д.)

Закономраспределенияслучайной величины называется совокупностьвозможных значений этой величины и,соответствующих этим значениям,вероятностей (или частот встречаемости).

П р и м е р:

xx1x2x3x4xn
pр1р2р3р4pn

или

xx1x2x3x4xn
mm1m2m3m4mn

Во многих случаяхнаряду с распределением случайнойвеличины или вместо него информацию обэтих величинах могут дать числовыепараметры , получившие название числовыххарактеристик случайной величины.Наиболее употребительные из них:

1.Математическоеожидание (среднеезначение) случайной величины есть суммапроизведений всех возможных ее значенийна вероятности этих значений:

2.Дисперсияслучайной величины:

3.Среднееквадратичное отклонение:

Правило “ТРЕХСИГМ” еслислучайная величина распределена понормальному закону, то отклонение этойвеличины от среднего значения поабсолютной величине не превосходитутроенного среднего квадратичногоотклонения

Закон гаусса – нормальный закон распределения

Часто встречаютсявеличины, распределенные по нормальномузакону(закон Гаусса). особенность:он является предельным законом, ккоторому приближаются другие законыраспределения.

Случайная величинараспределена по нормальному закону,если ее плотностьвероятностиимеет вид:

где

M(X) -математическое ожидание случайнойвеличины;

 — среднееквадратичное отклонение .

График плотности вероятности нормально распределённой величины

Плотностьвероятности(функция распределения) показывает, какменяется вероятность, отнесенная кинтервалу dxслучайной величины, в зависимости отзначения самой величины:

Основные понятия математической статистики

Математическаястатистика— раздел прикладной математики,непосредственно примыкающий к теориивероятностей.

Основное отличиематематической статистики от теориивероятностей состоит в том, что вматематической статистике рассматриваютсяне действия над законами распределенияи числовыми характеристиками случайныхвеличин, а приближенные методы отысканияэтих законов и числовых характеристикпо результатам экспериментов.

Основнымипонятиямиматематической статистики являются:

  1. Генеральная совокупность;

  2. выборка;

  3. вариационный ряд;

  4. мода;

  5. медиана;

  6. процентиль,

  7. полигон частот,

  8. гистограмма.

Генеральнаясовокупность-большая статистическая совокупность,из которой отбирается часть объектовдля исследования

(Пример:все население области, студенты вузовданного города и т.д.)

Выборка(выборочная совокупность) -множество объектов, отобранных изгенеральной совокупности.

Вариационныйряд-статистическое распределение, состоящееиз вариант (значений случайной величины)и соответствующих им частот.

Пример:

X,кг192021222324252627282930
m2168212018123423

x— значение случайной величины (массадевочек в возрасте 10 лет);

m-частота встречаемости.

Мода– значение случайной величины, которомусоответствует наибольшая частотавстречаемости. (В приведенном вышепримере моде соответствует значение24 кг, оно встречается чаще других: m= 20).

Медиана– значение случайной величины, котороеделит распределение пополам: половиназначений расположена правее медианы,половина (не больше) – левее.

Пример:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3,3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6,7,7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8,8, 8,8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

В примере мынаблюдаем 40 значений случайной величины.Все значения расположены в порядкевозрастания с учетом частоты ихвстречаемости. Видно, что справа отвыделенного значения 7 расположены 20(половина) из 40 значений. Стало быть, 7 –это медиана.

Для характеристикиразброса найдем значения, не выше которыхоказалось 25 и 75% результатов измерения.Эти величины называются 25-м и 75-мпроцентилями.Если медиана делит распределениепополам, то 25-й и 75-й процентили отсекаютот него по четвертушке. (Саму медиану,кстати, можно считать 50-м процентилем.)Как видно из примера, 25-й и 75-й процентилиравны соответственно 3 и 8.

Используютдискретное(точечное)статистическое распределение инепрерывное(интервальное)статистическое распределение.

Для наглядностистатистические распределения изображаютграфически в виде полигоначастотили —гистограммы.

Полигон частот-ломаная линия, отрезки которой соединяютточки с координатами (x1,m1),(x2,m2),…, или для полигонаотносительных частот –с координатами (x1*1),(x2*2),…(Рис.1).

m mi/n f(x)

xx

Рис.1 Рис.2

Гистограммачастот-совокупность смежных прямоугольников,построенных на одной прямой линии(Рис.2), основания прямоугольниководинаковы и равны dx,а высоты равны отношению частоты к dx,или р*к dx(плотность вероятности).

Пример:

х, кг2,72,82,93,03,13,23,33,43,53,63,73,83,94,04,14,24,34,4
m123781213107656653321

Источник: https://studfile.net/preview/6755992/

Лекция 14 Случайные величины и их числовые характеристики. Числовые характеристики случайной величины. Распределения непрерывных случайных величин. Закон больших чисел. Вопросы

2. Случайные величины и сигналы. Числовые характеристики для равномерного закона распределения случайной величины.

1. Случайная дискретная величина .

2.Закон распределения случайно величины.

3. Непрерывная случайная величина.

4. Интегральной функции и ее свойства.

5. Дифференциальная функция и ее свойства.

6.Математическое ожидание для дискретнойслучайной величины.

7.Вероятностный смысл математическогоожидания.

8.Свойства мат. ожидания.

9.Отклонение.

10.Дисперсия случайной дискретнойвеличины и ее свойства.

11.Вероятностный смысл дисперсии.

12.Свойства дисперсии.

13.Закон равномерного распределения.

14.Нормальное распределение. Нормальнаякривая.

1. Дискретные и непрерывные случайные величины

Определения.

1. Случайной величиной называетсявеличина, которая в результате опытаможет принять то или иное (но толькоодно) значение, причем заранее до опытанеизвестное.

2. Величина, принимающая отдельныеизолированные возможные значения,называется

дискретной.

Например:

а) Х – число нестандартных деталей впартии из штук.Х может принимать значения:.

б) Х – число выстрелов до первогопопадания в цель .

3. Непрерывной случайной величинойназывается величина, возможные значениякоторой, заполняют сплошь некоторыйинтервал.

Например.Х – расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия:.

2. Закон распределения дискретных случайных величин

Для полного определения случайнойвеличины Х, кроме возможных значенийХ, необходимо указать связь междувозможными значениями и соответствующимивероятностями. Эта связь называетсязаконом распределения Х и для дискретнойслучайной величины ее можно задать ввиде ряда распределения

где .

Можно задать также графически ввиде многоугольника распределений.

3. Распределение непрерывных случайных величин

Закон распределения нельзя строитьдля непрерывной случайной величины.Поэтому наиболее общей формой законараспределения величины Х являетсяфункция распределения (интегральнаяфункция). .

Для дискретной величины Х ,а для непрерывной – вероятность того,что случайная точка Х в результате опытапопадает левее точки.

Свойства .

1.

2.

3. — неубывающая функция

4.

В дальнейшем величину Х считаемнепрерывной, если -непрерывна.

Более наглядное представление,чем ,о характере распределения непрерывнойвеличины Х в окрестностях различныхточек дается функцией плотностираспределения (дифференциальнойфункцией).

Свойства

1.

2.

3.

4.

Пример 1.Построить графики,если

Решение.

Найдем

4. Числовые характеристики случайной величины

Числовые характеристики выражаютнаиболее существенные особенностиданного распределения.

Определение.Математическиможиданием случайной величины Х называется

а) Х – дискретная величина

б) Х – непрерывная величина

Математическое ожидание можнорассматривать как центр рассеиваниявеличины Х. Если проводится опытов,топриближенно равна среднему арифметическомунаблюдаемых значений Х.

Основными характеристиками рассеиванияХ около являютсяи среднее квадратическое отклонение,где:

а) Х – дискретная

Кроме указанных числовых характеристикиспользуются и другие: мода, медиана,моменты и др.

Начальные и центральные теоретическиемоменты.

Определение.Начальным моментом порядка к случайнойвеличины Х называют маматическоеожидание величины Хк:

Аналогично длядисперсии

Определение.Центральным моментом порядка к сл.вел.Х называют математическое ожидание ивеличины:

Легко выводятсясвязь между и

Пример 2.Дано

X0,121020
p0,40,20,150,25

Экономический пример3.Компанияпродает некоторый продукт, учет продажкоторого ведется в тысячах штук. Законраспределения объема ежемесячных продажпродукта представлен в таблице. Найдеможидаемое среднее значение числамесячных продаж.

Число единиц товара х, тыс, шт.Р(х)
500060007000800090000,20,30,20,20,1
1,0

Решение.Из формулы (3.4)следует, что М(Х)= 5000∙0,2+ 6000∙0,3++ 7000∙ 0,2+ 8000∙ 0,2+ 9000∙ 0,1= 1000 + 1800 + 1400 + + 1600 + 900 = 6700.

Пример 4.Каждый день местнаягазета получает заказы на новые рекламныеобъявления, которые будут напечатаныв завтрашнем номере. Число рекламныхобъявлений в газете зависит от многихфакторов: дня недели, сезона, общегосостояния экономики, активности местногобизнеса и т. д.

Пусть X– число новых рекламныхобъявлений, напечатанных в местнойгазете в определенный день. X– случайная величина,которая может быть только целым числом.В нашем примере случайная величина Xпринимает значения0; 1; 2; 3; 4; 5 с вероятностями 0,1; 0,2; 0,3; 0,2;0,1; 0,1 соответственно.

Найти математическоеожидание, дисперсию и среднеквадратическоеотклонение случайной величины X– числа рекламныхобъявлений в газете в заданный день.

Решение. Рядраспределения случайной величины X

xi012345
P(xi)= pi0,10,20,30,20,10,1

Вычисление математическогоожидания числа рекламныхобъявлений:

хi012345n
P(хi)0,10,20,30,20,10,1
хiP(хi)0,00,20,60,60,40,5М(Х)= 2,3

Можно сказать, что в среднем2,3 рекламных объявления ежедневнопомещаются в газете. Это – ожидаемоесреднее число рекламныхобъявлений в заданный день. Дисперсиявычисляется так:

σ2=[xiM(X)]2P(xi)= (0–2,3)2+ (1–2,3)2+ (2–2,3)2+ (3–2,3)2+ (4–2,3)2+ (5 – 2,3)2= 2,01. Среднеквадратическоеотклонение

Источник: https://studfile.net/preview/3561555/

Числовые характеристики дискретной случайной величины

2. Случайные величины и сигналы. Числовые характеристики для равномерного закона распределения случайной величины.

Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Основными характеристиками ДСВ являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

2. Постоянную можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

(для разности аналогично)

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

4.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

Рассмотрим следующие задачи.

1. Математическое ожидание и дисперсия СВ Х соответственно равны 0,5 и 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение.

Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии, получаем:

2. Случайные величины X и Y независимы, причем и . Найти , если .

Решение.

На основании свойств дисперсии получаем:

3. Закон распределения ДСВ Х задан таблицей распределения

1234

Найти:

1) Так как , т.е. , следовательно

Т.о. закон распределения примет вид

1234

2) Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

Сначала найдем математическое ожидание ДСВ Х2 для этого составим закон распределения этой СВ. Напоминаю, что для этого необходимо каждое значение ДСВ Х возвести в квадрат, а вероятности оставляем прежними. При одинаковых значениях ДСВ вероятности складываем.

3) Найдем среднее квадратическое отклонение:

4)

4. Функция распределения ДСВ Х имеет вид

Найти:

Решение.

Составляем закон распределения ДСВ Х (т.е. выполняем операцию обратную той, которую мы делали в предыдущей статье)

0123
0,20,40,30,1

Составляем закон распределения ДСВ

0149
0,20,40,30,1

5. Независимые случайные величины X и Y заданы таблицами распределения вероятностей

1020
0,20,8
304050
0,50,30,2

Найти двумя способами:

1. Составив предварительно таблицу распределения СВ ;

2. Используя правило сложения дисперсий.

Решение.

Составим таблицу распределения ДСВ .

Найдем

10+30=40 20+30=50
10+40=50 20+40=60
10+50=60 20+50=70
Т.о. значения ДСВ Z таковы:

Найдем соответствующие им вероятности:

Получаем ряд распределения СВ Z

40506070
0,10,460,280,16

2. Используя правило сложения дисперсий:

Источник: https://ischanow.com/teoriya-veroyatnostey/chislovye-kharakteristiki-dsv.html

Uchebnik-free
Добавить комментарий