1.2. Индукция и дедукция, анализ и синтез в обучении математике.

Анализ и синтез в обучении математике

1.2. Индукция и дедукция, анализ и синтез в обучении математике.

Основные методы обучения математике.

В современной методике существует ряд классификаций методов в зависимости от: источника передачи и характера восприятия информации (словесные, наглядные, практические), дидактических задач, реализующихся на данном этапе обучения (метод приобретения знаний, формирования УН, применения знаний, закрепления и проверки ЗУН), характера познавательной деятельности учащихся по усвоению содержания образования (объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, исследовательский, эвристический).

Словесные методы: беседа, лк, рассказ. Одним из эффективных методов является эвристическая беседа, в ходе которой учитель не сообщает учащимся готовый материал, а ставит перед классом проблему и в ходе целесообразно подобранных вопросов подводит учащихся к самостоятельному переоткрытию соответ. правил и теорем.

Школьная Лк применяется в основном в старших классах в том случае, если учебный материал является слишком сложным или важным с точки зрения целостного его восприятия. Рассказ применяется во всех классах. В виде рассказа учитель сообщает учащимся исторические справки, дает пояснение для выполнения работ и т. д.

В обучении математике большое применение находят наглядные методы (чертеж, график, схема, таблица, экранное пособие, модели). Таблицы: настенные рабочие и справочные. Экранные пособия: диафильмы, диапозитивы, кинофильмы. Модели — плоские, каркасные, тел вращения и т. д.

Практические методы: лабораторные и практические работы. Лабораторная — выполнение задания по отношению к конкретным предметам и моделям. Практическая – предмет деятельности — пространственные формы (измерение на местности). Особым методом является учебное телевидение (программированное обучение).

Индукция и дедукция в обучении математике.

Различают два основных вида умозаключений: индукцию и дедукцию. Индукция — от частного к общему. Она может быть полной (вывод делается на основании рассмотрения всех фактов), неполной и ММИ. Неполная индукция может быть ошибочна.

Индукция является мощным эвристическим методом и в этом качестве широко применятся для формирования гипотез, которые доказываются дедукцией (от общего к частному). Различием индукции от дедукции — достоверность вывода последней.

В настоящее время дедукцией называется метод доказательства, основанный на определенной системе аксиом, поэтому дедуктивный метод называют аксиоматическим. Индукция и дедукция тесно связаны между собой.

Анализ и синтез в обучении математике.

Анализ и синтез являются методами научного исследования и они находят широкое применение при формулировке понятий, доказательстве теорем и решении задач. Анализ в переводе с греческого означает разложение, разбор, синтез — соединение, составление

Анализ — операция мышления, состоящая в том, что изучаемый предмет разделяется на составные элементы, каждый из которых исследуется отдельно, как часть целого для того, чтобы в ходе анализа элементы соединить с помощью синтеза в целое, обогащенное новыми.

Для методики и практики обучения математики анализ и синтез играют особенно важную роль и выступают в самых разнообразных формах:

— как методы решения задач,

— доказательства теорем,

— изучение свойств математических понятий.

Анализ и синтез практически неотделимы друг от друга, они сопутствуют друг другу, дополняют друг друга, составляя единый аналитико-синтетический метод.

При решении задач анализ принимает другую форму. Анализ — это рассуждение, идущее от того, что надо найти к тому, что дано или установлено ранее (переход от следствия к причине).

Синтез — это рассуждение, идущее от данной задачи к искомости (переход от причины к следствию).

Поиск решения задач осуществляется в основном с помощью аналитико-синтетического метода. Здесь выделяются 3 этапа аналитико-синтетического рассуждения:

1) Предположим, что задача решена,

2) Посмотрим какие из этого можно извлечь выводы,

3) Сопоставляем полученные выводы (синтез), попытаемся найти способ решения задачи. Анализ в процессе решения задач может быть либо нисходящим, либо восходящим.

При нисходящем анализе, исходя из предположения об истинности доказываемого предположения, получают систему следствий необходимых для существования доказываемого утверждения. Нисходящий анализ требует синтеза — противоположного хода рассуждений.

Таким образом, сущность нисходящего анализа заключается в следующем: исходя из допущения, что заключение доказываемого предложения, верно, получают следствия до тех пор, пока не приходят к выводу, который может служить исходным соотношением в цепи обратных рассуждений.

Очевидно, что этим путем находят условие необходимое для заключения доказываемого предложения. Поэтому этот вид анализа не является доказательным. Нисходящий анализ чаще всего применяется в решении задач на построение.

В ходе анализа предполагают, что искомая фигура построена, делают чертеж, набросок и составляют план построения искомой фигуры.

Восходящий анализ имеет целью доказать, что известные (данные в условии) соотношения являются достаточными для существования заключения доказываемого предложения.

Восходящий анализ содержит в себе и синтез, поэтому он не требует противоположного хода рассуждений.

Восходящий анализ имеет определенные методические преимущества, а именно он обеспечивает сознательные и самостоятельные отыскания доказательства, способствует развитию логического мышления, обеспечивает понимание действий на каждом этапе рассуждений.

6. Математическое понятие, его содержание, объем.

При помощи понятий мы выражаем общие, существенные признаки вещей и явлений объективной действительности.

Понятие абстрагируется от индивидуальных черт и признаков отдельных восприятий и представлений и является, таким образом, результатом обобщения восприятий и представлений очень большого количества однородных явлений и предметов, например, число, пирамида, окружность, прямая.

Понятия образуются путем таких логических приемов, как анализ и синтез, абстрагирование и обобщение. Понятием будем называть мысль о предмете, выделяющую его существенные признаки.

Существенными признаками понятия называются такие признаки, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы отличить объекты данного рода от других объектов (например, параллелограмм.) В каждом понятии различают его содержание и объем.

м понятия называется совокупность существенных признаков объектов, охватываемых понятием. Объемом понятия называется совокупность объектов, на которое распространяется данное понятие. Например, понятие «человек». живое существо, создает орудия производства, обладает способностью абстрактного мышления. Объем: все люди. «Тетраэдр».

многогранник, ограниченный четырь­мя гранями, имеющими форму треугольников. Объем: множество всех тетраэдров. Между объемом и содержанием понятия существует такое соотношение: чем больше содержание понятия, тем меньше его объем. Если объем одного понятия входит как часть в объем другого по­нятия, то первое понятие называется видовым, а второе — родовым. Понятия род и вид имеют относительный характер. Например, понятие «призма» является родовым по отношению к понятию «прямая призма», но видовым понятием по отношению к понятию

«многогранник».

Виды определений

понятия раскрывается с помощью определения. Определением называется такая логическая операция, при помощи которой раскрывается содержание вводимого в рассмотрение понятия. Определить понятие — это значит перечислить существенным признаки предметов, отображенных в данном понятии.

Таким образом, в определении сначала указывается род, в который определяемое понятие входит как вид. А затем указывают те признаки, которые отличают этот вид от других видов ближайшего рода. Такой прием определения понятия называется определением понятия через ближайший род и видовое отличие. Понятие = род + видовое отличие.

Часто все определения делятся на два вида: явные и неявные.

Явными называются определения, в которых смысл определяемого термина полностью передается через смысл определяющих терминов. Определение через ближайший род и видовое отличие относится к явным. В неявных определениях смысл определяемого термина не передается полностью определяющими терминами.

Пример неявного определения — определение исходных понятий с помощью системы аксиом. Такие определения называются аксиоматическими. Примерами аксиоматических определений являются определения группы, кольца и поля, и т.п. Генетическим называется определение объекта путем указания способа его построения.

Например, «усеченный конус есть тело, происходящее от вращения прямоугольной трапеции вокруг стороны, перпендикуляр ной к основаниям трапеции». Или определение понятия «линейный угол двугранного угла». В индуктивном (рекуррентном) определении объект задается как функция f(n) от натурального числа n.

Это задание обеспечивается указанием значения f(1) и некоторого равенства, связывающего значения f(n+l) и f(n) (арифметическая прогрессия: an=an-1+d). Определения-соглашения( произведение двух дробей =…).

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

Источник: https://megalektsii.ru/s41742t4.html

7. Логические методы обучения математике: анализ и синтез

1.2. Индукция и дедукция, анализ и синтез в обучении математике.

К логическимметодам познания относятся: анализ,синтез, индукция, дедукция, сравнение,обобщение, абстрагирование и другие.

Анализ (от греч.Aanalysis-разложение,расчленение, разбор)- процедурамыслительного, а часто также реальногорасчленения предмета (явлений, процесса),свойства предмета (-тов) на составляющиеего части, компоненты, выделение впредмете аспектов его изучения; вычленениев предметах их сторон, свойств, отношениймежду ними.

Синтез- (от греч.Synthesis-соединение, составление, объединение,мысленное соединение выделенных путеманализа частей, сторон в некоторое новоемысленное единство, в котором фиксируетсятипичное в анализируемом предмете.

В первоначальномпонимании анализ рассматривался какпуть (метод мышления) от целого к частямэтого целого, а синтез- как путь от частейк целому, поэтому анализ и синтезпрактически неотделимы друг от друга.Они сопутствуют друг другу, дополняютдруг друга, составляя единыйаналитико-синтетический метод.

В математике поданализом понимают рассуждение в «обратномнаправлении», т.е. неизвестно, от того,что необходимо найти, к известному, ктому, что уже найдено или дано, от того,что необходимо доказать, к тому, что ужедоказано или принято за истинное.

Формированиеприемов синтеза и анализа развиваетмышление учащихся, а при устном опросе,устной беседе задействованы все учащиеся.

Рассмотрим следующуюзадачу: «Определить площадь четырехугольника,диагонали которого взаимно перпендикулярныи равны 6 и 8 см.» Поиск ее решенияцелесообразно начать, пользуясь методамианализа и синтеза. В процессе анализазадачи выделяются все ее утверждения:

  1. Необходимо вычислить площадь четырехугольника;

  2. Четырехугольник имеет взаимно перпендикулярные диагонали;

  3. Диагонали четырехугольника равны 6 и 8 см.

Выделение этихутверждений из «целого» (задачи) –результат проведения анализа. Анализнаправляется вопросами: «Что дано взадаче?», « О чем еще говорится в задаче?»,«Что в задаче требуется найти?».

Важноиметь в виду, что при решении задачианализ проводится не один раз: возможенповторный анализ, анализ с новой целью,с иной точки зрения и т.п.

Так, длявыполнения чертежа предполагает ужедругой метод познания- метод синтеза.

При решениирассматриваемой задачи учащихся иногдачетырехугольник изображают в видепараллелограмма. Избежать ошибки ввыполнении чертежа можно, если начатьпостроения не с четырехугольника, а сего диагоналей, изображая их произвольнымивзаимно перпендикулярными отрезками.

В итоге дополнительногоанализа на первый план выдвигаетсяусловие перпендикулярности диагоналей,которое является основным в отысканииобщей идеи решения задачи. Например,данный четырехугольник состоит изчетырех (или двух) треугольников и задачатем самым сводится к нахождению суммыплощадей этих треугольников.

Раскрытьс помощью примеров

8. Логические методы обучения математике: индукция и дедукция

Различают дваосновных вида умозаключения: индукциюидедукцию.

Индукция(от лат. – наведение, побуждение)

1) – это умозаключение,при котором из двух или несколькихединичных или частных суждений, получаютновое общее суждение (вывод)

2) – это методисследования, при котором, желая изучитьнекоторое множество объектов, изучаютотдельные объекты (обстоятельства),устанавливая в них те свойства, которыеприсущи всему рассматриваемому множествуобъектов.

3) – это формаизложения материала в литературномисточнике, беседе, в процессе обучения,когда от менее общих положений, приходятк более общим положениям (заключение,вывод).

Индукция: – полная(при которой не исчерпываются все частныеслучаи);

— неполная(основанное на рассмотрение всехединичных и частных суждений).

Существует(экспериментальная) исследовательскаяиндукция

1) метод сходства;

2) метод различия;

3) метод остатков;

4) метод сопутствующихизменений.

Дедукция– (от латинского выведение), формаумозаключения, при которой от одногообщего и одного частного сужденияполучают новое, менее общее или частноесуждение.

Виды умозаключения:1) от более общего положения, к менееобщему положению; 2) от общего положенияк общему 3) от единичного к частному.

Математика являетсядедуктивной наукой. Взаимосвязь индукциии дедукции выступает в методе изученияматематических предложений, называемымметодом совершенной индукции.

Используется,когда возникает необходимость датьлогическое обоснование выводу, полученномуиндуктивным путем.

Этапы: 1)Наблюдениеи опыт; 2)гипотеза; 3) обоснование(доказательство) гипотезы.

Дедуктивноедоказательство, называется методоммат.индукции. (основанного на принципемат.индукции): если какое-либо утверждение,сформулированное для натуральногочисла n,проверено для n=1и из допущения его истинности длянекоторого значения n=kследует его истинность для значенияn=k+1,то утверждение верно для любогонатурального n.

Раскрытьс помощью примеров

9. Логическиеметоды обучения математике: абстрагированиеи конкретизация. Впроцессе познавательной деятельностичеловек отражает объекты и явленияреальной действительности либо в формечувственных образов, либо в формепонятий, являющихся «приближеннымиснимками» этих реальных объектов илиявлений.

Понятия образуются в сознаниичеловека в результате отвлечения отнесущественного в изучаемом объекте,а также в результате обобщения, котороеупрощает изучение данного объекта,обычно представленное в реальном миревесьма многообразно.

Эти умственныепостроения в процессе познания называютнаучнымиабстракциями.

С точки зренияпсихологии «абстракция– это, посуществу, тоже специфическая формаанализа, форма, которую анализ приобретаетпри переходе к абстрактному мышлениюв понятиях».

Абстракция можетвыступать в двух различных формах:

1)форма имеет местов чувственном познании предмета(отвлечение от одних свойств предмета,и выделение другие его свойства). Н-р:рассматривая предмет как геометрическоетело, мы обращаем внимание только наего форму, размеры, положение на плоскости.

2)абстракция выходитза пределы чувственного воображения(простой отбор или преобразование техили других свойств явления или предмета).Н-р: при классификации треугольников взависимости от их углов, учащийсяабстрагируется, например, от свойстватреугольника «иметь различные стороны»,оперируя уже абстрактным понятием«треугольник».

Абстрагирование– этомысленное отвлечение от некоторыхнесущественных свойств изучаемогообъекта и выявление существенных дляданного исследования свойств.

Уже на весьмаранних ступенях бучения учитель можети должен обращать внимание учащихся наприроду абстракции (а значит, и природуматематики). Даже простое равенство5*3=15 способно ярко проиллюстрироватьприроду абстракции.

Задумаемся надвопросом, что может означать запись5*3=15, какое конкретное содержание онаотражает? Это равенство может означатьстоимость трёх карандашей; путь,пройденный пешеходом за три часа; площадьполя прямоугольной формы и т.д.

Важно,чтобы учитель обратил внимание учащихсяна этот знаменательный факт и помогосмыслить его.

Т.о., абстрагированиеявляется важнейшим методом математическогопознания, а значит, и методом обученияматематике. Для того чтобы учащиесяусвоили этот метод изучения математики,необходимо постоянно подчеркивать ивыявлять его проявление в процессеизучения.

Процессуабстрагирования противоположен процессконкретизации. Конкретизация – этомыслительная деятельность, при которойодносторонне фиксируется та или инаясторона объекта изучения, вне связи сдругими его сторонами.

Например, абстрактнодля сложения рациональных чисел имеетместо равенство a+b=b+a.Конкретно это свойство может бытьиллюстрировано равенством 5,2+7,3=7,3+5,2.

Раскрытьс помощью примеров более подробно

10. Специальныеметоды обучения математике: аксиоматическийметод. Специальныеметоды обучения математике– это адаптированные для обученияосновные методы познания, применяемыев самой математике, характерные дляматематики методы изучения действительности(построение математических моделей,способы абстрагирования, используемыепри построении таких моделей,аксиоматический метод).

Сущность.

Метод установления истинности предложенийзаключается в следующем: некоторыепредложения принимаются за исходные(их называют аксиомами),истинность же других предложений, невходящих в список аксиом (называемыхтеоремами)устанавливается с помощью логическогодоказательства.

В логическом доказательстве используются правила логическогоследования, гарантирующие истинностьзаключения при истинности посылок.Явное использование этих правил выводапревращает, таким образом, построеннуюматематическую теорию в дедуктивную(аксиоматическую) систему.

Аксиоматическийметод как метод обучения служит длясистематизации знаний учащихся, выяснениятого, «что, из чего следует», дляустановления истинности предложенийспецифическим для математики способом,для вывода новых знаний из имеющихся.Идея аксиоматического построениягеометрии была предложена и реализованаЕвклидом.

Она состоит в том, что если мыне можем определить, что представляетсобой исследуемый объект, то следуетопределить его свойства. Выделитьсущественные признаки объекта иабстрагироваться от несущественных.Если эти признаки подобраны хорошо, тосам объект ими полностью определяется.Т.е.

вместо того, чтобы говорить о том,что такое точка, прямая, плоскость, можноговорить о свойствах, которыми ониобладают.

Аксиоматическийметод построения геометрии не являетсятрудным для понимания школьников.Аксиомы можно рассматривать как правилаигры в геометрию. Если правила четкоопределены, то играть по ним легче, чемпри отсутствии правил.

В различныхучебниках геометрии используютсяразличные аксиомы, наиболее важные изних: В учебнике Л.С Атанасяна в качествеосновных понятий геометрии используютсяпонятия точки и прямой. Первые аксиомыотносятся к взаимному расположениюточек и прямых.

Одним из основныхпринципов, на котором должна строитьсяаксиоматика школьного курса геометрии,пригодная для первоначального курсагеометрии, является принцип элементарности.

Добавитьаксиоматика Евклида, геометрияЛобачевского, аксиоматика Пеано

Источник: https://studfile.net/preview/5430441/page:4/

Индукция и дедукция. Анализ и синтез

1.2. Индукция и дедукция, анализ и синтез в обучении математике.

Индукция и дедукция – это два противоположных метода рассуждения. Они не исключают друг друга и обычно используются для оценки определённых выводов.

Оба подхода имеют различия, но важно понимать, что при использовании и того, и другого можно получить ложное суждение, особенно в случае, если исходные предпосылки аргументации неверны.

Получение логически правильных выводов возможно при применении обоих способов одновременно. 

Индукция

Характерной особенностью этого способа является то, что знания, которые получены при помощи индуктивного способа, всегда носят, скорее, вероятностный характер, нежели заведомо истинный.

Определение 1

Индукция – свод правил, которые дают возможность совершить переход от частного к общему, от знания отдельных фактов к знанию закона, который лежит в основе этих фактов.

Дедукция

Индуктивному методу исследования противоположен дедуктивный как метод получения единичного знания из общего.

Определение 2

Дедукция – это переход от посылок к заключению, который опирается на логический закон, а поэтому он следует из принятых посылок с логической необходимостью.

Характерной особенностью дедуктивного способа является то, что от истинных посылок она всегда ведёт только к истинному заключению. Других вариантов быть не может.

Пример 1

Дедуктивный метод знаком многим из произведений Конана Дойла Шерлока Холмса. Именно этот литературный персонаж регулярно говорил о методе дедукции, хотя по своей сути он наоборот должен был называться индуктивным, ведь герой романов Конана Дойла всегда шёл в своих расследованиях от наблюдений к восстановлению общей картины преступления.

В научной среде метод дедукции выглядит как процесс выведения из исходных основных законов и гипотез по тем или иным правилам знаний, которые являются производными. Это способ даёт возможность путём нехитрых логический умозаключений, получить следствия в большом количестве, из относительно немногочисленных основных положений теории.

Учёные и мыслители XVII–XVII вв. занимались противопоставлением этих методов, но тот период давно прошёл и сегодня эти оба метода действуют в совокупности куда более эффективно, нежели по отдельности.

Индуктивный метод может дать знания только вероятностные, в естественных науках, и то это будут знания несовершенной формы. Однако он достаточно эффективен для исследования научного познания, связанного с возникновением нового знания.

Метод дедукции, в свою очередь, даёт возможность обратить внимание на содержание теории и сделать истинные выводы.

Анализ и синтез

Анализ и синтез чаще всего проводят в совокупности, поскольку это приводит к более глубокому познанию и более широкому раскрытию действительности.

Определение 3

Анализ – это мыслительный процесс, посредством которого происходит разделение сложного объекта на отдельные части, из которых он состоит, или характерные особенности, которые в последствии сравниваются.

Определение 4

Синтез – это процесс, противоположный анализу, т.е. процесс, который служит для воссоздания целого из аналитически заданных частиц.

Наблюдение. Эксперимент. Измерение

Научное познание кроме общелогических методов представлено и другими способами познания, а именно эмпирическим и теоретическим методами. Эмпирические методы это:

  • Наблюдение. Представляет собой восприятие, целенаправленно организованное на предметы и явления окружающего мира.
  • Эксперимент. Вид специфической практической деятельности, которая способствует изменению объекта, для того, чтобы открылась возможность получить определённую информацию о свойствах и связях, которые присущи ему.
  • Измерение. Познавательный процесс, посредством которого устанавливаются отношения данной величины к другой однородной величине, которая установлена как единица измерения.

Наблюдение играет важнейшую роль в науке и познании. Она заключается в том, чтобы обеспечивать науку эмпирической информацией. В свою очередь, данная информация необходима для возможности поставить новые задачи и проблемы, а также выдвинуть новые гипотезы. Кроме того, в последствие их необходимо проверить.

Процессы измерения для науки, безусловно, важны, однако несколько утрированное мнение на этот счёт высказал английский физик У. Томсон.

Замечание

У. Томсон писал: «Если вы знаете, как измерить объект, значит, вы кое-что о нём знаете; если вы не знаете, как его измерить, значит, вы ничего о нём не знаете».

В свою очередь, основная задача в научном познании, которая решается посредством эксперимента – это проверка положений теории и гипотез.

Мыслительный эксперимент. Аксиоматизация. Гипотетико-дедуктивный, генетически-конструктивный и системный методы

Кроме того, к методам исследования и познания в науке причисляют ещё и мыслительный эксперимент, аксиоматизацию, гипотетико-дедуктивный метод, генетически-конструктивный метод, системный метод и т.п.

Определение 5

Мыслительный эксперимент – это определённая теоретическая процедура, в основе которой лежит получение нового или проверка имеющегося знания, посредством конструирования идеализированных объектов и манипулирования ими в ситуациях искусственно созданных специально для этих целей.

Пример 2

Г. Галилей смог сформулировать закон инерции на основе именно мыслительного эксперимента. Он сделал вывод, что идеально гладкий шар может катиться по идеально гладкой поверхности, при условии, что силы трения между шаром и поверхностью будут полностью отсутствовать.

Самое широкое применение метод мыслительного эксперимента получил именно в физике. В науке, в которой нет ни одной дисциплины, где этот метод не применяется.

В основе аксиоматического метода построения теории лежит синтезирование основных понятий и аксиом, при этом при помощи дедуктивного метода из них фиксируются правила, по которым, в свою очередь, выводятся все остальные положения системы.

Определение 6

Гипотетико-дедуктивный метод – один из основных методов для построения естественно-научных теорий. Говоря о схемах, которые действуют в теории гипотетико-дедуктивного метода, можно выделить постановку определённых гипотез и выделение из них при помощи дедукции конкретных следствий.

Далее необходимо проверить эти следствия на части целого экспериментального материала, и только после проделанных манипуляций сопоставить результаты и исходные данные.

Историко-генетический метод исследования присущ естественным наукам, таким как биология, антропология, космология, геология и пр. В этих науках в основе исследования лежат сложные развивающиеся объекты. С помощью историко-генетического подхода они раскрывают свои главные закономерности развития.

Определение 7

Генетический метод исследования – это способ познания мира и окружающей среды, в основе которого лежит анализ развития природы и социальных явлений.

задача такого познания заключается в установлении связей между изучаемых явлений во времени и исследование переходов от низших форм к высшим.

Однако, несмотря на то, что генетический способ является важнейшим элементом исследования появления и эволюции объекта, при помощи его невозможно раскрыть всю сложность процесса развития.

Современные учёные не используют генетический способ обособленно, а чаще всего делают это вместе с методом системного анализа и сравнительно-историческим методом.

В завершении всего вышесказанного следует отметить, что научный метод – это не просто набор последовательных действий, а скорее способ установления истины. Именно поэтому в научных исследованиях средства деятельности, метода формирования и развития научного знания должны быть под пристальным контролем исследователя.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/filosofija/filosofija-nauki/induktsija-i-deduktsija/

Шпоры к ГИА по математике. Специальность: Учитель математики с доп.спец. информатика, 4-х летний срок обучения, Елец, 2010 год — файл n24.doc

1.2. Индукция и дедукция, анализ и синтез в обучении математике.
приобрести
Шпоры к ГИА по математике. Специальность: Учитель математики с доп.спец. информатика, 4-х летний срок обучения, Елец, 2010 год
скачать (2741 kb.)Доступные файлы (45):Мет7. Индукция и дедукция, анализ и синтез в обучении математике. Метод математической индукции (ММИ).

Опр: Индукция – это метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок.

Различают два вида индукции: полную и неполную, а также математическую индукцию. Пусть А = {а1, а2, а3,…} – множество всевозможных частных случаев, в каждом из которых некоторое свойство С может быть или не быть.

Допустим, что в к случаях имеет место свойство С, т. е. имеются посылки С(а1), С(а2),…, С(ак). Индуктивное рассуждение строится по схеме: С(а1), С(а2),…, С(ак) /  х: С(х) (1).

Если множество А всех возможных частных случаев содержит более, чем к элементов или же бесконечно, что особенно часто встречается в математике, то заключение по схеме (1) не является достоверно истинным высказыванием. В этом случае имеем неполную индукцию.

Опр: Неполная индукция – это индукция, при которой не исчерпываются все частные случаи, относящиеся к данной ситуации.

Индукция может привести к ложному заключению, т. к. посылки не исчерпывают всевозможные частные случаи. Ввиду недостоверности заключения неполная индукция не может служить методом доказательства в математике.

Опр: Полной индукцией называется умозаключение, основанное на рассмотрении всех случаев, относящихся к рассматриваемой ситуации.

В математике широко используется еще один вид индукции – полная математическая индукция. Математическая индукция – это специальный метод доказательства в применении к изучению какого-либо математического факта. ММИ состоит из следующих этапов: 1) наблюдение и опыт; 2) гипотеза; 3) обоснование гипотезы.

Применение ММИ основано на применении принципа математической индукции: если какое-либо утверждение, сформулированное для натурального числа n, проверено для единицы и из допущения его истинности для некоторого значения n = k, следует его истинность для значения n = k + 1, то утверждение верно для любого натурального числа n.

ММИ обычно выглядит так: 1) шаг – проверяем истинность теоремы (формулы) для n = 1; 2) шаг – предполагаем, что теорема верна для некоторого n = k, и исходя из предположения, доказываем истинность теоремы для n = k + 1; 3) шаг – на основании первых двух шагов доказательства и принципа математической индукции заключаем, что теорема верна для любого натурального n. Обучение ММИ дается нелегко, требует особенно тщательного пояснения самой аксиомы, достаточно четкого выделения всех трех шагов доказательства. При правильном использовании индуктивного метода, целесообразно сочетать его со следующими средствами: 1) системой упражнений и задач; 2) использованием наглядных пособий; 3) выполнением лабораторных работ на измерение; 4) выполнением построений, конструированием моделей по условиям задач. задача индукции в процессе обучения математике – подвести учащихся от конкретных предметов и явлений к новым понятиям, свойствам или отношениям между объектами.

Опр: Дедукция – это форма умозаключения, состоящая в том, что новое предложение выводится чисто логическим путем, т. е. по определенным правилам логического вывода из некоторых известных предложений.

Сущность дедукции состоит в том, что частный случай подводится под общее положение. Имеется большое многообразие дедуктивных рассуждений – правил вывода, используемых неявно в математических доказательствах:

  1. [А(х) => В(х), А(а)] / B(a) – правило заключения;

____ ___

  1. [А(х) => В(х), В(а)] / А(a) – правило отрицания;
  2. [А(х) => В(х) =>С(х)] / [А(х) => С(х)] – правило силлогизма.

Математика – наука дедуктивная. Широкое применение дедукции в математике обусловлено аксиоматическим методом построения математических теорий, который состоит в следующем: некоторые предложения, выражающие основные свойства первоначальных понятий или отношения между ними, принимаются за истинные – это аксиомы теории; истинность остальных предложений (теорем) устанавливается с помощью дедуктивных доказательств.

Опр: Анализ – процесс мысленного или реального расчленения предмета (явления, процесса) на части (признаки, свойства).

Различают восходящий и нисходящий анализ. При восходящем анализе изучение явления начинается с того, что надо доказать, найти, определить, т. е. с заключения, и от него «восходят» к условию. При нисходящем анализе предполагается, что доказываемое предположение верно и, опираясь на известные факты и верное по предположению доказываемое предположение, выводят из них следствие до тех пор, пока не придут либо к противоречию с известными фактами, либо к известному факту.

Опр: Синтез – это рассуждение, идущее от данной задачи, теоремы к искомым (переход от причины к следствию).

Нельзя отделить анализ от синтеза.. Анализ и синтез находят применение при формулировании понятий, доказательстве теорем, решении задач. Мет7. Индукция и дедукция, анализ и синтез в обучении математике. Метод математической индукции (ММИ)

Источник: https://nashaucheba.ru/v14789/?cc=24

Применение индукции в процессе обучения математике

1.2. Индукция и дедукция, анализ и синтез в обучении математике.

Обычно, когда говорят индуктивные методы обучения, имеют в виду применение неполной индукции в обучении. Дальше, говоря индукция, будем иметь в виду неполную индукцию.

Ввиду недостоверности заключения индукция не может служить методом доказательства. Но она является мощным эвристическим методом, т. е. методом открытия новых истин. В таком качестве индукция должна широко применяться в школьном обучении в рамках методов, ориентированных на обучение учащихся деятельности по приобретению новых знаний.

Индукция, так же как и аналогия, может привести к ложному заключению. Так, например, вычисляя значения выражения n2+n+17 при n = 1,2,3, …

, 15, мы получаем неизменно простые числа, и это наводит на мысль, что значение этого выражения при любом натуральном n есть простое число.

Иначе говоря, на основании пятнадцати частных посылок получено общее заключение, относящееся к бесконечному множеству частных случаев, и это заключение оказывается ложным, так как уже при n = 16 получаем составное число

162+16+17=16*17+17-172.

В истории математики были случаи, когда известные математики ошибались в своих индуктивных выводах. Например, П. Ферма предположил, что все числа вида 22n+ 1 простые, исходя из того, что при n == 1,2,3,4 они являются таковыми, но Л. Эйлер нашел, что уже при n = 5 число 225+ 1 не является простым (оно делится на 641).

Однако возможность получения с помощью индукции ложного заключения не является основанием для отрицания роли индукции в школьном обучении математике. Во-первых, применение индукции в обучении корректируется и направляется учителем к открытию истин.

Во-вторых, нужно добиваться понимания учащимися правдоподобного характера индуктивного заключения.

Поэтому, применяя индукцию, необходимо всячески подчеркивать, что заключение является лишь предположением, гипотезой, которое может быть доказано (если оно истинно) или опровергнуто (если оно ложно).

Например, когда учащиеся открывают свойство суммы углов треугольника с помощью измерений, необходимо разъяснить им, что мы можем высказать лишь предположение гипотезу) о том, что во всяком треугольнике сумма углов равна 180°.

Во-первых, результаты опыта лишь близки к 180°; во-вторых, даже предполагая, что все отклонения в одну или другую сторону вызваны неизбежными погрешностями измерений и для каждого из 30 треугольников, в которых мы производили измерения углов, сумма углов действительно равна 180°, мы не можем на этом основании заключить, что она равна 180° в любом треугольнике.

Такими разъяснениями мы и добиваемся понимания учащимися правдоподобного характера индуктивного заключения.

Надо отличать возможность ложного заключения от ошибочного применения индукции. В практике иногда встречаются ошибочные применения индукции, когда учащимся не предъявляется необходимое разнообразие частных посылок. Приведем пример.

Учитель хотел привести учеников к открытию индуктивным путем правила умножения десятичных дробей, но из-за недостатка времени предложил только один пример, в котором во множимом и множителе вместе было три десятичных знака.

После разъяснения способа умножения на этом конкретном примере учитель поставил перед классом вопрос: Какое же правило мы нашли для умножения десятичных дробей? Ученик отчеканил правило: Чтобы умножить десятичные дроби, мы умножаем их как целые числа, не обращая внимания на запятые, а в произведении отделяем справа три десятичных знака. Вот к какому открытию можно привести учащихся, если строить индукцию на базе одной частной посылки! Разумеется, возможно, что кто-нибудь из учащихся догадался, как правильно сформулировать общее правило, но наша цель — создание такой педагогической ситуации, в которой все или, по крайней мере, большинство учащихся догадаются, как это сделать, а для этого нужно правильно подобрать последовательность частных посылок.

Совершенно очевидно, что на вопрос, сколько надо рассматривать частных посылок и какие, чтобы подвести учащихся к открытию общей закономерности, нельзя дать ответ, пригодный на все случаи применения индукции и для всех учащихся; Мы должны заботиться, чтобы частное содержание, которое выражается в посылках и не должно входить в общее заключение, варьировалось, т. е. видоизменялось от посылки к посылке, чтобы облегчить учащимся выявление того общего, неизменного, содержащегося во всех посылках, что и должно составлять содержание заключения. В приведенном выше примере частное содержание, которое должно варьироваться в посылках, это число десятичных знаков во множимом и множителе.

На отдельных этапах обучения, в частности в IV-V классах, обучение математике ведется преимущественно индуктивными методами.

Здесь индуктивные заключения достаточно убедительны психологически и в большинстве остаются пока (на этом этапе обучения) недоказанными.

Можно обнаружить лишь изолированные дедуктивные островки, состоящие в применении несложных дедуктивных рассуждений в качестве доказательств отдельных предложений.

В дальнейшем обучении индукция уступает первенство дедукции. Однако она не исключается, меняется лишь ее роль. Если в IV-V классах она служит основным методом обучения, в дальнейшем она становится вспомогательным. С помощью индукции (или аналогии) мы открываем то, что подлежит доказательству дедуктивным путем.

Сочетание индукции с дедукцией в процессе обучения математике вполне правомерно. Когда говорят математика — дедуктивная наука, то термин математика понимается здесь в смысле готовая, уже построенная теория (или совокупность таких теорий).

Когда же речь идет о методах обучения математике, то здесь, имеется в виду привлечение самих учащихся к деятельности по построению системы математических знаний, разумеется, в той мере, в какой это им доступно под руководством учителя.

В процессе же построения системы математических знаний наряду с дедукцией применяются и другие методы (наблюдение, опыт, индукция, аналогия и др.), в основе которых лежат правдоподобные рассуждения.

Приведем пример. Признак перпендикулярности прямой и плоскости — известная теорема стереометрии. Можно сообщить учащимся формулировку теоремы, изложить ее доказательство. Этот подход малоэффективен.

Можно поступить иначе. Определение перпендикулярности прямой к плоскости неэффективно: мы не можем проверить перпендикулярность данной прямой к любой прямой плоскости, таких прямых бесконечно много. Возникает задача: нельзя ли указать некоторое достаточное условие перпендикулярности прямой к любой прямой плоскости?

Возникает гипотеза: перпендикулярность к одной прямой плоскости. Но она быстро опровергается, можно построить модель прямой, перпендикулярной к одной прямой плоскости, но не перпендикулярной к другой.

Возникает другая гипотеза: перпендикулярность к двум прямым плоскости. Это уже кажется более правдоподобно (пока все учащиеся берут две пересекающиеся прямые плоскости). Однако и здесь обнаруживается противоречащий случай (если взять параллельные прямые плоскости, можно указать прямую, перпендикулярную им, но не перпендикулярную некоторой третьей прямой плоскости).

Наконец, формулируется уточненная гипотеза: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна любой прямой плоскости, т. е. и самой плоскости.

Таким путем мы открываем то, что подлежит дедуктивному доказательству.

Приведенный пример относится к курсу X класса. Он подтверждает, что и на этом этапе обучения индуктивные методы не теряют своего значения.

Как в любых процессах познания (научного или обыденного), так и в процессе обучениядедукция и индукция взаимосвязаны. Ф. Энгельс писал: “Индукция и дедукция связаны между собой столь же необходимым образом, как синтез и анализ.

Вместо того чтобы односторонне превозносить одну из них до небес за счет другой, надо стараться применять каждую на своем месте, а этого можно добиться лишь в том случае, если не упускать из виду их связь между собой, их взаимное дополнение друг друга”'.

В индукции мы идем от посылок, выражающих знания меньшей степени общности, к новому суждению большей степени общности, т. е. идем от отдельных конкретных явлений к обобщению. В дедукции ход рассуждения противоположный, т. е.

от обобщений, выводов мы идем к отдельным конкретным фактам или суждениям меньшей степени общности. В процессе обучения индуктивный и дедуктивный методы используются в единстве.

Индуктивный метод используется тогда, когда изучается новый материал, трудный для учащихся, но когда в результате беседы они сами смогут сделать определенное заключение обобщающего характера, или сформулировать правило, или доказать теорему, или вскрыть некоторую закономерность.

Индуктивный метод больше активизирует учащихся, но от учителя требует творческого подхода и гибкости в преподавании. При этом затрачивается больше времени на подведение учащихся к самостоятельному заключению.

Дедуктивный метод состоит в том, что учитель сам формулирует общее суждение, выражающее какое-то правило, закон, теорему и т. д., а затем применяет его, т. е. иллюстрирует частными примерами, случаями, фактами, событиями и т. д. Соединение дедукции и индукции в процессе обучения приводит к двум способам объяснения материала:

1) индуктивно-дедуктивному способу, когда объяснение “начинается с индукции и переходит затем в дедукцию (возможно, при значительном перевесе индукции)”,

Источник: https://ifilosofia.ru/prakticheskaya-podgotovka/10-indukcija-kak-metod-poznanija/666-primenenie-indukcii-v-processe-obuchenija.html

Uchebnik-free
Добавить комментарий